§18. Давление Лапласа. Капиллярные явления

1

О

.  Давление Лапласа. Кривизна поверхности жидкости приводит к изменению внутрижидкостного давления. Чтобы его определить, выделим на поверхности капли малый элемент в форме криволинейного параллелограмма ABCD площадью S (рис.63).

Здесь R₁ и R₂ – радиусы кривизны поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях MN и KL.

П о касательной к поверхности перпендикулярно сторонам AD и BC действуют равные по величине силы поверхностного натяжения и . Разложим эти силы на две составляющие. Одна – нормальная к поверхности в точке O, а другая – касательная к поверхности в этой же точке.

Касательные составляющие в сумме дают нуль, а составляющие вдоль нормали OO₁ направлены в одну сторону. Найдем их сумму.

. (18.1)

. (18.2)

Аналогично находятся составляющие сил и . . (18.3)

Складываем. . (18.4)

Разделив эту силу на площадь S, получаем давление, создаваемое внутри жидкости ее искривленной свободной поверхностью. .   Пьер Лаплас, 1806  (18.5)

Эту формулу впервые получил Лаплас в 1806 г., и поэтому ее часто называют законом Лапласа: внутрижидкостное давление, обусловленное поверхностным натяжением, пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения и средней кривизне поверхности.

Средней кривизной называют выражение в скобках 1/R₁+1/R₂. В 1831 г. Карл Гаусс показал, что средняя кривизна поверхностей не зависит от ориентации сечений, в которых измерялись радиусы кривизны R₁ и R₂. Важно лишь, чтобы эти сечения были взаимно перпендикулярны. На практике ориентация сечений выбирается из соображений геометрической простоты.

Наиболее часто встречаются три случая.

а.  Поверхность сферическая (капли, пузырьки). Радиус кривизны равен радиусу сферы, R₁ = R₂ = R, p = 2 R.

б.  Поверхность цилиндрическая. Одно сечение удобно взять нормально оси цилиндра, R₁ = R, другое – в плоскости оси, R₂ = . Средняя кривизна цилиндрической поверхности 1/R + 1/ = 1/R, где R – радиус цилиндра, p =  R.

в .  Плоская поверхность. Радиус кривизны в любом сечении R₁ = R₂ = , кривизна равна нулю, давление Лапласа равно нулю.

Если поверхность жидкости выпуклая, как, например, у капли, то лапласовское давление положительно, p > 0, жидкость дополнительно подпрессована (рис.64-а).

Если же поверхность вогнутая, как у воздушного пузырька в жидкости, то лапласовское давление отрицательно, p < 0, жидкость растягивается поверхностными силами (рис.64-б).

Отсюда ясно, что радиус кривизны поверхности – алгебраическая величина. Если центр кривизны поверхности находится со стороны жидкости, то радиус кривизны R – положительное число, R > 0. Если же центр кривизны поверхности находится со стороны газа, то R < 0.

2.  Жидкость в круглом капилляре. Рассмотрим поведение жидкости в сосуде малых размеров, где поверхностные силы соизмеримы с объемными. Такие сосуды называются капиллярами (от лат. capillus – волос). Круглые капилляры – это полые цилиндры радиусом не более 1-5 мм.

Если жидкость смачивает стенки капилляра, она поднимается в нем вверх, если не смачивает – опускается вниз по сравнению с уровнем свободной плоской поверхности. Найдем высоту поднятия или опускания жидкости в круглом вертикальном капилляре.

На рис.65 показан случай смачивающей жидкости в капилляре радиусом r. Мениск смачивающей жидкости в круглом капилляре представляет собой сегмент сферы радиусом R. Этот сегмент, приподняв жидкость вверх по капилляру на высоту H, растягивает жидкость, создавая в ней отрицательное лапласовское давление.

По закону сообщающихся сосудов давление на уровне свободной поверхности h = 0 как вне, так и внутри капилляра одно и тоже. Снаружи оно равно атмосферному p₀.

В нутри капилляра (точка А) оно складывается из трех частей: атмосферного p₀, лапласовского p = 2 /R и гидростатического gH. Так что . (18.6)

Радиус кривизны мениска R в случае смачивающей жидкости – отрицательное число. Он связан с радиусом капилляра r соотношением , (18.7)

где  – краевой угол. Отсюда . (18.8)

Здесь  – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

По мере поднятия в капилляре внутрижидкостное давление будет уменьшаться за счет уменьшения гидростатического давления. В произвольной точке B на высоте h над уровнем свободной поверхности давление

. (18.9)

Д авление под мениском на высоте капиллярного подъема жидкости h = H складывается лишь из атмосферного и лапласовского. В смачивающей жидкости лапласовское давление отрицательно, поэтому давление под мениском меньше атмосферного на величину лапласовского давление, p = p₀+2 R = p₀gH. (18.10)

Формула (18.8) пригодна и к случаям несмачивающей жидкости. В этом случае , cos – отрицательное число. Поскольку все остальные величины , r, g,  – положительные числа, то при cos <0 и H будет отрицательным числом. Мениск несмачивающей жидкости опускается ниже уровня свободной поверхности (рис.66).

Давление непосредственно под мениском также определяется формулой (18.10) и больше атмосферного на величину лапласовского давления.

Н аиболее заметно капиллярное поднятие или опускание жидкости, когда диаметр капилляра меньше 1 мм. Например, вода в стеклянной трубке диаметром 2 мм поднимается на высоту , а в капилляре диаметром 0,1 мм – на высоту около 0,30 м. Ртуть в капилляре диаметром 0,1 мм опускается на 14,5 см.

3.  Жидкость в плоском капилляре. Плоским капилляром называется совокупность двух твердых плоских поверхностей, расположенных на близком расстоянии друг от друга. Различают плоскопараллельный капилляр с параллельными стенками и капиллярный клин.

а.  Плоскопараллельный капилляр. Найдем высоту поднятия жидкости между двумя параллельными стенками (рис.67). Как и в круглом капилляре смачивающая жидкость поднимается между стенками вверх. Но ее свободная поверхность между стенками имеет форму цилиндра с радиусом кривизны R, который связан с шириной зазора a соотношением: . (18.11)

Так как лапласовское давление, создаваемое цилиндрической поверхностью, равно p =  /R, то высота H подъема жидкости в плоском капилляре . (18.12)

Если между двумя параллельными плоскостями имеется жидкость, то на каждую поверхность действует сила F = pS, где p =  /R – лапласовское давление, а S – площадь жидкого слоя. Так что . (18.13)

Если , поверхности стягиваются жидким слоем, при – отталкиваются.

Например, две стеклянные пластинки площадью S = 1010 см², смоченные водой и находящиеся на расстоянии a = 0,01 мм друг от друга, стягиваются с силой

. Оторвать одну пластинку от другой довольно трудно, но они легко сдвигаются друг относительно друга.

б .  Капиллярный клин возникает в области вершины двугранного угла, образованного двумя плоскими поверхностями (рис.68). Поскольку расстояние a между поверхностями по мере удаления от вершины O растет по закону a =  x, где  – двугранный угол, то высота подъема жидкости уменьшается,

. (18.14)

Здесь – постоянная для данного клина в данной жидкости величина.

Уравнение H = c x есть уравнение гиперболы, которую образует верхняя граница жидкости внутри двугранного угла.

4.  Капиллярные явления. Хотя круглый и плоский капилляры являются идеализациями и в природе встречаются нечасто, закономерности, которые выявляются при их изучении, проявляются в капиллярах самых причудливых форм. Перечислим некоторые явления, имеющие капиллярную природу.

а .  Капиллярное перемещение жидкости. Если в сужающийся капилляр попадает капля смачивающей жидкости, то за счет разности кривизны свободных поверхностей возникает перепад давлений, смещающий каплю в более узкую область (рис.69).

Капля может перемещаться также в капилляре постоянного сечения, если со стороны одного мениска жидкость имеет более высокую температуру, чем со стороны другого. Разность давлений возникает в этом случае из-за разности поверхностного натяжения, в результате капля перемещается в более холодную область.

Капиллярное перемещение жидкости играет большую роль в живой природе и почве.

б.  Капиллярная контракция – это уменьшение объема пористых тел при высушивании. Наиболее заметно капиллярная контракция проявляется при высушивании растительных стеблей – травы и древесины.

Н апример, при просушке древесины влага, испаряясь из капилляров между волокнами целлюлозы, постепенно стягивается в область все более узких мест. В результате радиус кривизны менисков постепенно уменьшается, а отрицательное лапласовское давление увеличивается. Под действием внешнего давления волокна при высыхании сближаются и остаются в этом положении.

5.  Опытное определение коэффициента поверхностного натяжения  включает в себя более пяти различных методов. Наиболее просты в техническом исполнении и наглядны два из них: метод капель и метод капиллярного подъема.

а .  Метод капель. Из стеклянной трубки дают возможность жидкости медленно вытекать одиночными каплями (рис.71). Если допустить, что капля отрываeтся от трубки тогда, когда ее вес mg сравняется с силой поверхностного натяжения 2r, удерживающей каплю в висячем положении, где r – радиус выходного конца трубки, то . (18.15)

Здесь m – масса капли, g – ускорение свободного падения.

б.  Метод капиллярного подъема основан на явлении втягивания смачивающей жидкости в капилляр или выталкивания несмачивающей жидкости из капилляра. Высота капиллярного подъема (опускания) определяется формулой (18.8).

Измерив диаметр капилляра 2r, плотность жидкости  и высоту капиллярного подъема (опускания) H, можно вычислить поверхностное натяжение . Строго говоря, если жидкость неизвестная, и неизвестен краевой угол  при ее контакте с данной твердой поверхностью, то в этих методах определяется произведение cos.

Краевой угол  может быть определен прямым его измерением на большой капле, помещенной на горизонтальную поверхность.