Задания для самостоятельной работы

Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга со следующими граничными условиями:

18.1. .

18.2. .

18.3. .

18.4.

18.5.

Решить краевую задачу для уравнения Лапласа вне круга со следующими граничными условиями:

18.6. .

18.7. .

18.8. .

18.9. .

18.10. .

Лекция 19. Уравнение неразрывности и уравнения эйлера

19.1. Гипотеза сплошности

Введём понятие сплошной среды. Все тела состоят из отдель­ных частиц (атомов, молекул), но так как их много в любом очень малом, интересующем нас объёме, мы абстрагируемся от реального строения вещества и представляем среду с непре­рывно меняющимися свойствами, заполняющую пространство сплошным образом. Воду, воздух, металлы, конденсированные взрывчатые вещества (ВВ), продукты детонации и т.д. будем рассматривать как тела, непрерывно заполняющие некоторую часть пространства.

Такая идеализация, в частности, позволяет в дальнейшем при исследовании движения таких сред использовать аппарат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное ис­числения.

Как правило, в горном деле рассматриваются два вида сплошных сред: идеальная среда и неидеальная среда.

Идеальная среда. Идеальной средой называют такую сре­ду, в которой отсутствуют внутренние силы взаимодействия между частицами, то есть отсутствуют силы внутреннего трения между частицами, отсутствуют касательные напряжения. Иде­альная среда не способна оказывать сопротивление изменению формы своих частиц.

Среди класса идеальных сред будем выделять так называе­мый "совершенный газ", свойства которого описываются уравне­нием Менделеева-Клапейрона - .

Неидеальная среда. В неидеальной среде присутствуют внутренние силы (внутреннее трение). Это вязкая жидкость — изотропная сжимаемая (или несжимаемая) среда, сдвиговые и объёмное сопротивления которой линейно зависят от скоростей деформаций.

Заметим, что твёрдые тела (металлы и другие) являются неидеальной средой. Они характеризуются наличием прочности и сжимаемости при относительно высоких напряжениях. Для твёрдых тел используют модели:

- упругой среды (сопротивление которой линейно зависит от деформаций);

- жёсткопластической среды (учитывается только пластич­ность);

- упругопластической среды, в которых учитываются упру­гие и пластические свойства, а также сжимаемость среды.

В сплошной среде различают поверхностные и массовые силы.

Поверхностные силы. Поверхностными силами, называются силы, распределенные по поверхности некоторого объёма сплош­ной среды.

Рис. 19.1

На рис. 19.1 показана система поверхностных сил, действу­ющих на поверхность выделенного объёма в идеальной сплошной среде, где р_х = р_у = р_z = р.

На рисунке 19.2 показаны поверхностные силы, действующие в неидеальной сплошной среде (вязкой среде или твёрдом теле).

Рис. 19.2

Массовые силы. Силы, действующие на единицу массы, на­зываются массовыми. Это, например, гравитационные силы, ко­торые подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона, элек­тромагнитные силы, силы инерции и др.

19.2. Установившееся и неустановившееся движения.

Каждая точка среды характеризуется параметрами: давлением р, плотностью ρ, температурой Т, u — вектором скорости c проекциями на оси координат (u_x, u_y, u_z)_. Следует заметить, что в жидкости и газе р одинаково по всем направлениям (закон Паскаля), а в металлах, и вообще в твёрдых телах, в точке вместо р вводится тензор напряжений , имеющий шесть независимых компонентов: три касательных напряжения (i=j) и три нормальных напряжения (i ≠ j). Если движение установившееся (стационарное), то все параметры меняются от точки к точке (зависят от координат), но не зависят от времени.

Для установившегося (стационарного) движения среды имеем:

В неустановившемся движении все параметры зависят от координаты и от времени:

В горном деле при описании взрывов и удар­ных явлений в разных средах рассматриваются в основном неустановившиеся движения.

Траектории и линии тока. Траектория — линия, по которой движется частица среды. Линией тока называется линия в пространстве, касательная к которой в данный момент времени совпадает с направлением скорости в этой точке. Если движение стационарное, то траектория совпадает с линией тока, если дви­жение нестационарное, то это разные линии.