Глава 4. Плоское движение твердого тела

4.1. Свойства и уравнения плоского движения твердого тела

Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называет­ся такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости (рис. 2.44).

Рис. 2.44

Движение каждой точки плоской фигуры в непод­вижной плоскости Q определяет собой движение всех точек твердого тела, расположенных на перпендикуляре к плоскости Q, восставленном в этой точке. Это позволяет свести изучение плоского движения твер­дого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости.

Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух перемещений: поступательного перемещения плоской фигуры вместе с произвольной точкой, называемой полюсом, и поворота вокруг полюса.

При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а числовая величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависят.

Рис. 2.45 Рис. 2.46

Из вышеизложенного следует, что действительное движение плоской фигуры в ее плоскости в каждый момент времени можно рассматривать как совокупность поступательного движения и вращения (рис. 2.45, 2.46).

Таким образом, движение плоской фигуры в ее плоскости, а следовательно, и движение всего тела определяются тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела:

4.2. Теорема о скоростях точек плоской фигуры и ее следствия

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

,

где - скорость полюса;

- скорость вращения точки вокруг полюса.

Точку О, скорость которой равна v₀, примем за полюс. Определим скорость любой другой точки плоской фигуры А (рис. 2.47), например точки.

Вращательная скорость направлена перпендикулярно отрезку ОА, в сторону вращения фигуры, и имеет модуль

,

или

.

Рис. 2.47

После подстановки получаем

Скорость точки А изображается диагональю параллелограмма, построенного при точке А на скорости полюса О, перенесенной в точку А, и вращательной скорости точки А вокруг полюса О (рис. 2.47).

С л е д с т в и е I. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны (рис. 2.48).

или

.

Рис. 2.48

С л е д с т в и е 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка (рис. 2.48).

или

.

Задача 2.8. Колесо радиуса R=1 м (рис. 2.49) катится по прямолинейному рельсу так, что абсцисса его центра С и угол поворота меняются по закону (t – в с, - в м, - в рад, направление вращения показано с помощью ). Найти скорость точки М колеса в момент времени t= 1 c.

Рис. 2.49

Решение. Колесо совершает плоское движение в соответствии с уравнениями

.

По этим уравнениям находим скорость точки С и примем ее за полюс

т.е. .

Угловая скорость

рад/с.

Вектор скорости полюса направлен параллельно оси Ох в сторону возрастания координаты . При t=1 с

м/с.

Скорость точки М в соответствии с теоремой о скоростях точек плоской фигуры будет равна

,

где

м/с.

Вектор направлен перпендикулярно прямой МС в сторону вращения колеса. Построив параллелограмм со сторонами и , найдем направление скорости точки М , а модуль найдем с использованием метода проекций:

м/с;

м/с;

м/с.

Задача 2.9. Зная скорости ползунов А и В, определить скорость шарнира С механизма, изображенного на рис. 2.50 в указанном положении.

Решение. Так как шарнир С соединяет стержни АС и ВС механизма, то точка С одновременно принадлежит каждому из этих стержней. Поэтому проекция неизвестной скорости шарнира С на ось стержня АС равна проекции скорости ползуна А на эту ось и имеет такое же направление, а проекция скорости шарнира С на ось стержня ВС равна проекции скорости шарнира В на эту же ось (рис. 2.51).

Рис. 2.50 Рис. 2.51

Находим проекцию Аа скорости ОА на ось АС и откладываем по этой оси из точки С отрезок Cc₁ = Аа. Аналогично находим проекцию Вb скорости на ось ВС и откладываем отрезок Сс₂ = Вb. Затем восставляем в точках с₁ и с₂ перпендикуляры к направлениям этих осей. Точка К пересечения этих перпен­дикуляров определит собой конец скорости шарнира С, т. е. .