4.8. Мгновенный центр ускорений

Если в данный момент угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры не равны одновременно нулю, то существует точка, связанная с фигурой, ускорение которой в этот момент равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорения плоской фигуры.

Рис. 2.67

Мгновенный центр ускорений Q находится на отрезке, составляющем с ускорением полюса a₀ угол a=arctgε/ω², который откладывается от ускорения полюса в сторону, соответствующую направлению углового ускорения ε, на расстоянии от полюса, равном (рис. 2.67)

.

Мгновенный центр ускорений, как правило, не совпадает с мгновенным центром скоростей.

4.9. Определение ускорений точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра ускорений

Приняв за полюс мгновенный центр ускорений, можно определить ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент как ускорение этой точки во вращательном дви­жении фигуры вокруг мгновенного цент­ра ускорений (рис. 2.68)

Рис. 2.68

Поэтому

.

Таким образом, модули ускорений точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений, а векторы ускорений составляют с от­резками, соединяющими эти точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол a=arctgε/ω².

Eсли угол а отсчитывать от ускорения точки к отрезку, соеди­няющему ее с мгновенным центром ускорений, то направление отсчета угла совпадает с направлением углового ускорения ε.

В каждый момент ускорения точек плоской фигуры таковы, как будто плоская фигура совершает вращение вокруг неподвижной точки -мгновенного центра ускорений Q; различным моментам времени соответствуют различные положения мгновенного центра ускорений.

4.10. Различные случаи определения положения мгновенного центра ускорений

С л у ч а й I. По условию задачи известна точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю. Эта точка и является мгновенным центром ускорений (рис. 2.69). Мгновенный центр скоростей Р находится в точке соприкасания колеса с рельсом.

Рис. 2.69

Центр колеса движется равно­мерно по прямой; следовательно, его ускорение a_C=0, т.е. центр колеса является мгно­венным центром ускорений.

Если колесо катится без скольжения по поверхности, то мгновенный центр скоростей находится в точке соприкасания колеса с поверхностью. Отсюда следует, что мгновенный центр ускорений не совпадает с мгновенным центром скоростей.

С л у ч а й II. Известны модуль и направление ускорения какой-либо точки А плоской фигуры a_A, а также угловая скорость ω и угловое ускорение ε фигуры.

1. Неравномерное вращение: . В этом случае мгновенный центр ускорений находится на отрезке, составляющем с направлением ускорения a_A угол , который отложен от ускорения точки в сторону ε на расстоянии от точки А, равном

.

На рис. 2.70,а показан случай ускоренного вращения плоской фигуры, а на рис. 2.70,б — случай замедленного вращения. Направление вращения на построение угла не влияет и угол всегда откладывается от направления ускорения в сторону ε.

а) б)

Рис. 2.70

2. Равномерное вращение: (а также момент времени, когда ε=0 при неравномерном вращении) (рис. 2.71). В этом случае

и

Рис. 2.71

т. е. ускорения всех точек направлены к мгновенному центру ускорений.

Расстояние от точки до мгновенного центра ускорений определяется по формуле:

3. Момент, когда угловая скорость становится равной нулю:

. В этом случае

т.е. ускорения всех точек направлены перпендикулярно отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром ускорений (рис. 2.72). Расстояние от точки до мгновенного центра ускорений определя­ется по формуле

Рис. 2.72

.

Угловая скорость фигуры обычно обращается в нуль при измене­нии направления вращения фигуры.

4. Момент, когда угловая скорость и угловое ускорение становятся равными нулю при непоступательном движении:

.

Рис. 2.73

В этом случае ускорения всех точек плоской фигуры в данный момент геометрически равны, так как ускорение любой точки равно ускорению полюса (рис. 2.73) по формулам :

.

С л у ч а й III. Известны модули и направления ускорений двух точек плоской фигуры. Допустим, что известны ускорения точек А и В плоской фигуры a_s и a_B (рис. 2.74). Примем точку А за полюс, тогда

Построим при точке В параллелограмм ускорений по заданной диагонали и одной из сторон . Другая сторона параллелограмма определит ускорение во вращении точки В фигуры вокруг полюса А. Ускорение составляет угол с отрезком АВ, соединяющим точку В с полюсом А.

Рис. 2.74

Отсчитывая полученный угол α от ускорения к отрезку АВ, получаем направление , в данном случае противоположное направле­нию вращения часовой стрелки. Определив угол α и направление , отложим этот угол от ускорений точек А и В по направлению . Две полученные полупрямые продолжим до пересечения в точке Q, которая и будет мгновенным центром ускорений.

Этот способ определения положения мгновенного центра ускорений не требует определения угла α путем вычислений. Если положение мгновенного центра ускорений по этому способу определяется графи­чески, то ускорения точек должны быть отложены в масштабе по их истинным направлениям.

Рассмотрим случаи, когда ускорения точек плоской фигуры парал­лельны. Положение мгновенного центра ускорений в этом случае определяется на основании того, что:

1) модули ускорений точек пропорциональны длинам отрезков, соединяющих точки с мгновенным центром ускорений

;

а) б)

Рис. 2.75

2) ускорения точек составляют с отрезками, соединяющими точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол .

На рис. 2.75,а,б выполнено построение для случая

, т. е. .

Рисунки 2.76,а,б соответствуют случаю α = 90^о:

а) б)

Рис. 2.76

.

На рис. 2.77,а,б построен мгновенный центр ускорений для случая

.

а) б)

Рис. 2.77

В случае (рис. 2.78) мгновенный центр ускорений находится в бесконечности, а ускорения всех точек плоской фигуры геометри­чески равны.

Рис. 2.78

Задача 2.15. Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 2.79), имеет в данный момент времени скорость = 1 м/с и ускорение =2 м/с². Радиус колеса R = 0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром скоростей.

Рис. 2.79

Решение. Так как и известны, принимаем точку О за полюс. Точка касания Р является, мгновенным центром скоростей; следовательно, угловая скорость колеса

. (а)

Направление определяется направлением и показано на чертеже сплошной стрелкой.

Так как в равенстве (а) величина PO = R остается постоянной при любом положении колеса, то, дифференцируя это равенство по времени, получим:

или . (б)

Знаки и совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

Важно помнить, что величина определяется равенством (б) только в том случае, когда расстояние Р0 в формуле (а) постоянно.

Примечания: а) не следует думать, что если по условиям задачи =1 м/с, то =const. Значение в задаче указано для данного момента временит; с течением же времени изменяется, так как ; б) в данном случае , так как движение точки О является прямолинейным. В общем случае .

Так как за полюс взята точка О, то по формуле

. (в)

Используя равенства (а) и (б) и учитывая, что в нашем случае BО =R, находим:

. (г)

Показав на чертеже точку В отдельно, изображаем векторы, из которых слагается ускорение , а именно: , и .

Вычисление . Проведя оси Вх и By, находим, что

,

откуда .

Аналогичным путем находим и ускорение точки Р

,

которое направлено вдоль РО. Таким образом, ускорение точки Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю, нулю не равно.

Задача 2.16. Определить ускорения точек В и С в заданном положении кривошипно-шатунного механизма (рис. 2.80, а), если ОА = 10 см, АС = АВ = 15 см, угловая скорость кривошипа постоянна и равна

= 300 рад/с.

а) б)

Рис. 2.80

Решение. В заданном положении механизма две точки звена, совершающего плоское движение, имеют параллельные скорости

см/с.

Вектор перпендикулярен ОА и направлен в сторону , скорость точки В направлена вдоль горизонтали. Мгновенный центр скоростей звена АВ в этом случае находится в бесконечности, поэтому (рис. 2.80,б).

Для определения положения мгновенного центра ускорений Q необходимо знать ускорение одной точки плоской фигуры, ее угловую скорость и угловое ускорение.

Определим ускорение точки А. Точка А одинаково принадлежит и звену АВ, и звену ОА, вместе с которым совершает вращение вокруг оси, проходящей через точку О.

,

где - центростремительное ускорение точки, направленное к центру вращения, модуль которого определяется равенством

м/с²;

где - вращательное ускорение, которое в случае равномерного вращения равно нулю .

Таким образом, .

Обозначим угловое ускорение шатуна АВ и определим положение мгновенного центра ускорений из равенства

, .

Но , тогда .

Следовательно, мгновенный центр ускорений лежит на прямой, перпендикулярной ускорению точки А и проходящей через эту точку. Одновременно мгновенный центр ускорений лежит на прямой, проведенной через точку В перпендикулярно ускорению этой точки. Точка В движется поступательно вдоль горизонтали, ускорение точки В также направлено по горизонтали.

Зная положение мгновенного центра ускорений шатуна, можно найти ускорение точки А, как точки, принадлежащей этому звену,

,

с учетом того, что , имеем

.

Подставляя значение , находим угловое ускорение шатуна

рад/с².

Угловое ускорение покажем на рис. 2.80,б против хода часовой стрелки, т.е. в соответствии с направлением отсчета угла . Ускорение точки В будет

м/с².

Ускорение точки С

м/с².

На рис. 2.80,б ускорения точек В и С перпендикулярны отрезкам BQ и CQ соответственно и направлены в сторону углового ускорения .

Задача 2.17. Определить скорость и ускорение точки В линейки эллипсографа АВ длиной 40 см в момент, когда  = 30^о, если скорость точки А = 2 м/с, ускорение = 0,6 м/с² и направлены так, как показаны на чертеже (рис. 2.81,а).

Решение. Кинематический анализ механизма. Тело АВ совершает плоское движение, при этом две точки движутся по изображенным пунктиром прямолинейным траекториям.

а) б)

Рис. 2.81

Скорость точки А изображена на рисунке, а скорость точки В будет направлена вдоль горизонтальной прямой, являющейся ее траекторией. Так как рассматривается плоское движение, то определим положение мгновенного центра скоростей, проведя перпендикуляры через две точки плоской фигуры к скоростям этих точек (рис. 2.81,б).

Мгновенные радиусы РА и РВ определим следующим образом:

м;

м.

2. Определение скорости точки В

. (а)

Угловая скорость по условию задачи неизвестна, точка А, скорость которой задана, вместе с телом АВ поворачивается вокруг мгновенного центра скоростей и ее скорость можно записать в виде

,

откуда

рад/с.

Вектор скорости направлен в сторону угловой скорости , т.е. поворот плоской фигуры АВ вокруг МЦС осуществляется по ходу часовой стрелки. Подставляя значение  в выражение (а), находим модуль :

м/с.

Вектор изобразим перпендикулярно мгновенному радиусу, т.е. вдоль траектории в сторону .

3. Определение ускорения точки В. В соответствии с теоремой об ускорениях точек плоской фигуры ускорение точки В равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращении вместе плоской фигурой вокруг полюса. За полюс примем точку А, ускорение которой известно из условия задачи.

.

Составляющее ускорение , в свою очередь, состоит из двух слагаемых:

,

тогда

. (б)

Определим значения составляющих ускорений:

м/с²; .

Угловое ускорение плоской фигуры  равно первой производной по времени от угловой скорости 

.

Закон изменения мгновенного радиуса РА неизвестен, подсчитано только значение в данный момент времени, поэтому выражение для угловой скорости продифференцировать невозможно, т.е. определить угловое ускорение  , а следовательно, и нельзя.

Для определения ускорения выполним следующее построение (рис. 2.82): вектор ускорения полюса изобразим в точке В; покажем вдоль АВ, направив его к полюсу; направим перпендикулярно в любую сторону (покажем его предположительное направление); - точка В движется вдоль горизонтали и ее ускорение направлено вдоль траектории ( показываем либо в одну сторону с , либо в противоположную).

Рис. 2.82

Проецируя (б) на ось х, запишем

. (в)

В этом равенстве неизвестными являются и .

Проецируя (б) на ось у, запишем

,

откуда

м/с².

Зная значение , можно определить угловое ускорение всего тела

АВ

рад/с².

Подставляя значение в выражение (в), определим ускорение точки В:

м/с².

Задача 2.18. В эпициклическом механизме (рис. 2.83) кривошип ОА ускоренно вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и угловым ускорением = 1 рад/с² и приводит в движение колесо 2 радиусом = 20 см, которое находится во внешнем зацеплении с подвижным колесом 1 радиусом =16 см. Определить скорость и ускорение точки В, лежащей на ободе колеса 2.

Рис. 2.83

Решение. Кинематический анализ. Установим виды движения тел механизма и выявим характерные особенности движений. Механизм состоит из трех тел: неподвижного колеса 1, кривошипа ОА, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, и колеса 2, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности колеса 1, т.е. совершающего плоское движение. Колеса имеют общую точку – точку соприкосновения, которая и будет для колеса 2 являться мгновенным центром скоростей Р. Мгновенный радиус точки В определим по формуле

см.

Зная положение МЦС, скорость точки В определим, используя МЦС как полюс.

Определение скорости точки В

, (г)

но не задана, ее можно определить, рассмотрев точку А, которая участвует в двух движениях – вращается вместе с кривошипом вокруг оси О и вместе с колесом 2 вокруг МЦС.

Принадлежащая кривошипу ОА точка А имеет скорость

.

Поворачиваясь вместе с плоской фигурой 2 вокруг МЦС, точка обладает скоростью, которая определяется по формуле

. (д)

Приравнивая (г) и (д), получим угловую скорость плоской фигуры:

,

откуда

рад/с.

На рисунке 2.84 изобразим вектор перпендикулярно радиусу вращения ОА в сторону угловой скорости . Зная направление скорости точки плоской фигуры и положение МЦС, покажем направление угловой скорости, соответствующее .

В выражение (а) подставим значение и получим скорость точки

м/с.

Рис. 2.84

Вектор изобразим на чертеже перпендикулярным мгновенному радиусу РВ, направив в сторону угловой скорости .

Определение ускорения точки В . В соответствии с теоремой об ускорениях точек плоской фигуры ускорение точки равно

.

Точка А взята за полюс, так как ее ускорение легко определяется, исходя из сведений о вращательном движении. Рассматривая вращение точки А вместе с кривошипом ОА имеем, что

.

Составляющие ускорения точки В, которое она имеет при повороте вместе с плоской фигурой вокруг полюса А , также запишется в виде двух слагаемых

.

Полное ускорение точки В определится геометрической суммой четырех слагаемых ускорений

. (е)

По известным формулам определим модули всех слагаемых

м/с²;

м/с²;

м/с²;

В задачах данного типа определение ускорения плоской фигуры возможно, так как мгновенный радиус (РА) с течением времени не изменяется.

На рис. 2.85 изображены векторы всех слагаемых ускорений, исходя из следующих соображений:

Рис. 2.85

- от точки А к центру вращения О;

- перпендикулярно радиусу вращения ОА в сторону углового ускорения ;

- от точки В к полюсу А;

- перпендикулярно радиусу вращения АВ в сторону углового ускорения , которое после дифференцирования получено с тем же знаком, что и угловая скорость, значит нужно показать в ту сторону, что и угловую скорость полюса .

Так как в точке В следует изобразить четыре слагаемых вектора, то составляющие ускорения полюса и перенесем параллельно своему положению и изобразим в точке В.

Для определения модуля ускорения точки В применим метод проекций. Проецируя равенство (е) на изображенную систему отсчета, получим:

м/с²;

м/с².

Модуль ускорения точки В

м/с².

Если построение на рис. 2.81 выполнено без масштаба, то вектор не изображается.

Задача 2.19. Найти ускорение ползуна В и угловое ускорение шатуна АВ в заданном на рис. 2.86,а положении кривошипно-шатунного механизма, если в данный момент кривошип ОА вращается замедленно, имея угловую скорость рад/с и угловое ускорение . Длина кривошипа ОА = 20 см, длина шатуна АВ = 80 см.

Решение. Определение ускорений точек плоской фигуры графическим способом. Чтобы определить ускорение точки В шатуна, совершающего плоское движение, необходимо знать ускорение какой-либо другой точки. Очевидно, что такой точкой является точка А, принадлежащая одновременно кривошипу ОА и шатуну АВ и имеющая ускорение

,

причем

, .

Вектор направлен к точке, через которую проходит ось враще-

ния кривошипа, вектор перпендикулярен ОА и направлен в сторону (рис. 2.86, б).

а) б)

в)

Рис. 2.86

Приняв точку А за полюс запишем теорему об ускорениях для точки В

.

В этом равенстве ускорение всегда направлено к полюсу (точка А) и по модулю равно

.

Угловую скорость шатуна найдем из равенства (рис. 2.86, б)

;

рад/с,

тогда

см/с².

Ускорение направлено перпендикулярно АВ в сторону и по модулю равно

.

Ускорение точки В направлено горизонтально, так как траектория точки В – горизонтальная прямая.

Построение многоугольника ускорений проводим в такой последовательности:

1. Из произвольной точки О откладываем в избранном масштабе вектор (рис. 26, в).

2. Из конца вектора в том же масштабе строим вектор .

3. Из конца вектора , в том же масштабе строим вектор .

4. Через конец вектора проводим прямую, параллельную ускорению (перпендикулярную АВ).

5. Через начало построения (точку О) проведем прямую, параллельную ускорению (горизонталь).

6. Точка пересечения двух прямых определит величины и направления неизвестных ускорений и . Измерив длины полученных векторов и учитывая масштаб построения, находим, что .

7. Зная значение , находим угловое ускорение звена АВ

,

откуда

.

По найденному направлению вектора определяем, что в данном положении механизма угловое ускорение шатуна АВ направлено против хода часовой стрелки, т.е. в данный момент шатун вращается замедленно.