При этом процесс ортогонализации можно осуществить по рекурентной формуле

Здесь произвольный базис евклидова пространства, а ортонормированный.

41

Линейный оператор. Основные понятия

Определение. Если каждому элементу из линейного пространства X ставится в соответствие единственный элемент из линейного пространства X, то говорят, что задан оператор, действующий в пространстве X.

Результат действия оператора A на элемент обозначают .

Если элементы и связаны соотношением , то называют образом ; а — прообразом .

Множество элементов пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).

Множество элементов пространства X, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A). Если , то .

Ядром оператора называется множество элементов линейного пространства X, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .

Определение. Оператор A, действующий в линейном пространстве X, называется линейным оператором, если для любых из X и для любого действительного числа α справедливо:

1. ;

2. .

Матрица линейного оператора

Пусть — линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве X, .

Это означает, что в некотором базисе в X имеют место разложения:

.

Поскольку A — линейный оператор, то

Но следовательно, т.е. — вектор из X, компоненты которого — координаты образа базисного вектора

Продолжим вычисления:

Обозначим

.

Тогда

т.е. .

Формула связывает вектор-столбец координат образа с вектором-столбцом координат прообраза.

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов некоторого базиса в X, называется матрицей линейного оператора A в данном базисе:

.

Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначение линейного оператора, A(светлая) или A_e — обозначение матрицы оператора A в некотором базисе или в базисе .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространстве X определен некоторый базис, и , — вектор (столбцы) из X то векторы-столбцы их координат и в этом базисе связаны соотношением , где A — матрица оператора A в этом же базисе.

Между множеством линейных операторов, действующих в n-мерном линейном пространстве X, и множеством квадратных матриц порядка n можно установить взаимно однозначное соответствие.

45

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Определение. Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве X. Число называется собственным значением, а ненулевой вектор из X — соответствующим собственным вектором оператора A, если они связаны между собой соотношением.

Примеры.

1. Нулевой оператор: , т.е. — собственное значение нулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства X.

2. Тождественный (единичный) оператор I: — т.е. собственное значение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства X.

3. Оператор P₂ — оператор проектирования пространства R³ на подпространство R² параллельно вектору : , , т.е. — собственное значение оператора, проектирования, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы X, третья координата которых равна нулю: .

Пусть A— матрица оператора в некотором базисе в X .

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , или, что то же самое, , где E — единичная матрица, а — нулевой вектор X. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы . Ненулевое решение однородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, т.е. . Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы — как решения соответствующих однородных систем.

Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен — характеристическим многочленом оператора.