15. Вращение твёрдого тела вокруг закреплённой оси. Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела.
Враще́ние — круговое движение объекта. В плоском пространстве объект вращается вокруг центра (или точки) вращения. В трёхмерном пространстве объект вращается вокруг линии, называемой осью. Если ось вращения расположена внутри тела, то говорят, что тело вращается само по себе или обладает спином, который имеет относительную скорость и может иметь момент импульса. Круговое движение относительно внешней точки, например, вращение Земли вокруг Солнца, называется орбитальным движением или, более точно, орбитальным вращением.
Вращение вокруг осей x, y и z называется основным вращением. Вращение вокруг произвольной оси можно рассматривать последовательно, по составляющим: сначала вращение вокруг оси x, затем как вращение вокруг оси y, и затем вращение вокруг оси z. Иначе говоря, для пространственного вращения можно сделать декомпозицию на основные составляющие.
Скорость вращения задаётся угловой частотой (рад/с), частотой (обороты/с, обороты/мин) или периодом (секунды, дни, и т.д.). Изменение во времени угловой частоты есть угловое ускорение (рад/с²), Это изменение вызывается моментом силы. Отношение двух величин момента инерции (насколько трудно начать, остановить или изменить вращение) называется моментом инерции.
В соответствии с правилом правой руки направление от наблюдателя соответствует вращению по часовой стрелке, а направление к наблюдателю — против часовой стрелки, как у винта.
Основное
уравнение динамики вращательного
движения:
16. Момент инерции. Вычисление моментов инерции ноторых тел относительно оси симметрии (тонкий стержень, обруч, диск). Теорема Штейнера.
Момент инерции — скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Единица измерения СИ: кг·м².
Обозначение: I или J.
Для
расчета моментов
инерции
тонкого диска
массы m
и радиуса R
выберем систему координат так, чтобы
ее оси совпадали с главными центральными
осями (рис.32). Определим момент инерции
тонкого однородного диска относительно
оси z
, перпендикулярной к плоскости диска.
Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с
внутренним радиусом r
и наружным r+dr.
Площадь такого кольца ds=2r
$\pi$ dr,
а
его масса
,
где S=
$\pi$ R2
- площадь всего диска. Момент инерции
тонкого кольца найдется по формуле
dJ=dmr2.
Момент инерции всего диска определяется
интегралом
Вычисление момента инерции тонкого стержня:
Пусть
тонкий стержень имеет длину l
и массу m.
Разделим его на малые элементы длины
dx
(рис.27), масса которых
.
Если выбранный элемент находится на
расстоянии x от оси, то его момент инерции
,
т.е.
Интегрируя
последнее соотношение в пределах от 0
до l/2
и удваивая полученное выражение (для
учета левой половины стержня), получим
Момент
инеpции обруча
относительно оси, пpоходящей чеpез центp
кольца пеpпендикуляpно к его плоскости.
В этом случае все элементаpные массы
обруча удалены от оси на одинаковое
pасстояние, поэтому в сумме (3.18) r2 можно
вынести за знак суммы, т. е.
Теорема Штейнера:
В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: J=J0+ma^2.
Например,
момент инерции диска относительно оси
О' в соответствии с теоремой Штейнера:
