- •4. Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X, имеющая предел в этом множестве.
- •(Это не все свойства их очень много )
- •6.Число e
- •Сравнение бесконечно малых Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость . [править] Определения
- •13. Признаки существования предела (сходимости)
Сравнение бесконечно малых Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость . [править] Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).
Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).
Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
13. Признаки существования предела (сходимости)
1. yn<=xn<=zn и Lim yn=Lim zn=C, то lim xn=c;
n->∞ n->∞ n->∞
2. последовательность монотонная и ограниченная;
3. для любого eps>0 существует такое число N=N(eps), что для всех
n>=N и m>=N |xn-xm|<eps
(критерий Коши);
14. Первым замечательным пределом называется предел
Первый замечательный предел равен
Вторым замечательным пределом называется предел
15. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
16. а практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :
Функция f (x) определена в точке x = a;
Предел существует;
Выполняется равенство .
17. Непрерывность сложной функции
Теорема . Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.
(обратной не нашёл)
18
f(x) = C, (где С – постоянная) непрерывна на R, т.к. при любом x.
f(x) = x, непрерывна на R, т.к. при .
f(x) = , непрерывна на R как произведение непрерывных функций.
f(x) = , непрерывна на R, т.к. многочлен есть сумма непрерывных функций.
f(x) = , где P и Q – многочлены степени n и m соответственно, непрерывна на К кроме тех x, при которых Q обращается в нуль, как частное непрерывных функций.
f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)
Пусть – произвольная точка множества R. Тогда sinx-sin . Так как , а , то , откуда следует, что функция f(x) = sin(x) – непрерывна.
Аналогично рассуждая, можно доказать непрерывность косинуса. Из непрерывностей синуса и косинуса следуют непрерывности тангенса и котангенса, учитывая что (для тангенса) и (для котангенса).
f(x) = arcsin(x), f(x) = arcos(x), f(x) = arctg(x), f(x) = arcctg(x) , непрерывны на своей области определения. Это следует из теоремы об обратной функции, примененной не ко всей тригонометрической функции (к примеру, sin(x)), а к ее отрезку (для sin(x) это отрезок ).
, где r – рациональное. Представим r = m / n, . Тогда . Функция непрерывна и строго возрастает на R. По п. 2 также непрерывна.
, a > 1, непрерывна на R. Пусть – произвольная точка множества R, = . Докажем, что . Пусть - произвольная последовательность вещественных чисел такая, что . В силу свойств вещественных чисел найдутся последовательности рациональных чисел и , удовлетворяющие при условию: < , откуда . Так как и , то =1. Отсюда и , ч.т.д.
Логарифмическая функция непрерывна, что следует из непрерывности показательной функции по теореме об обратной функции.
19
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.