3. Критерій інтегровності функції.

Існує критерій інтегровності функції на заданому відрізку. Щоб його сформулювати, введемо так звані суми Дарбу (Дарбу (1842 – 1917) - французький математик).

Означення 2. Множина називається обмеженою знизу, якщо існує таке дійсне число , що для всіх чисел справджується нерівність .

Число при цьому називається нижньою межею множини .

Означення 3. Множина називається обмеженою зверху, якщо існує таке дійсне число , що для всіх чисел справджується нерівність ).

Число при цьому називається верхньою межею множини .

Нехай на відрізку задана обмежена функція . Тоді вона буде обмеженою і на будь-якому окремому відрізку , а отже множина значень функції, яких вона набуває на кожному з відрізків , має точну нижню межу ( найбільша нижня межа множини ) і точну верхню межу ( найменша верхня межа множини ).

Нехай

- точна нижня межа;

- точна верхня межа.

Побудуємо такі суми:

Суми і називаються відповідно нижньою і верхньою сумою Дарбу.

Зрозуміло, що суми Дарбу залежать від розбиття ,

і не залежать від вибору проміжних точок

Критерій інтегровності. Справедлива така теорема.

Теорема 1. Для того, щоб функція була інтегровною на відрізку , необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на цьому відрізку і щоб виконувалося співвідношення

Цей критерій приймемо без доведення.

Тепер доведемо таку теорему.

Теорема 2. Будь-яка неперервна на відрізку функція є інтегровною на цьому відрізку.

Доведення. Оскільки неперервна на відрізку , то вона буде неперервною і на кожному окремому відрізку . Тому за теоремою Веєрштрасса (К. Веєрштрасс (1815 -1897) – німецький математик ) на кожногму відрізку набуватиме найменшого і найбільшого значень. Ці значення збігаються з точною нижньою і з точною верхньою межами. Отже, існують точки і такі, що

, .

Тоді

.

Через те, що є неперервною на відрізку , то за теоремою Кантора (Г. Кантор (1845 – 1918) – німецький математик, довів таку теорему, що для функції, яка неперервна на відрізку, рівномірно неперервна на цьому відрізку) вона є рівномірно неперервною на цьому відрізку. Тому для числа де - довільне число, знайдеться число таке, що як тільки то

де - довільні точки відрізка . Надалі розглядатимемо такі розбиття відрізка на частини, що Тоді

Отже,

Ця нерівність означає, що

Теорему доведено.

Розділ 2. Властивості визначеного інтеграла.

Із означення (4) визначеного інтеграла та основних теорем про границі випливають наступні властивості.

1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

.

Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції . Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування. Визначений інтеграл введений для випадку, коли . Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли і

2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

3. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

(6)

Властивості 2 і 3 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю випливають з наведеної далі формули Ньютона – Лейбніца.

4. Якщо функція інтегрована на максимальному з відрізків , , , то справедлива рівність

(7)

(адитивність визначеного інтеграла).

Припустимо спочатку, що . Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, то розіб’ємо так, щоб точка була точкою розбиття. Якщо, наприклад, , то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (7).

Інше розміщення точок зводиться до вже розглянутого.

Якщо, наприклад, то за формулами (7) і (6) маємо

На мал. 3 показано геометрично цю властивість для випадку, коли і : площа трапеції дорівнює сумі площ трапеції i .

Зауваження. Нехай – знакозмінна неперервна функція на відрізку , де , наприклад,

і (мал. 4).

Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо

де – площі відповідних криволінійних трапецій.