Розділ 3. Формула Ньютона – Лейбніца.

1. Методика введення формули Ньютона – Лейбніца.

Доцільно звернути увагу на те, що безпосередньо за означенням легко обчислювати інтеграли лише для найпростіших функцій, таких, як . Для інших функцій, наприклад тригонометричних, обчислення границь сум значно ускладнюється. Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення цієї формули дають у курсі математичного аналізу. Проте не можна без будь-яких пояснень давати учням лише готову формулу. Цілком можливо проілюструвати формулу Ньютона – Лейбніца геометричними міркуваннями. Для цього слід повернутися до задачі про площу криволінійної трапеції (мал. 8). Виберемо довільну точку і

Мал. 6 проведемо пенпендикуляр до осі . Площа фігури змінюється зі змінною , тобто є функцією , яку позначимо . Доведемо, що існує похідна цієї функції, причому , де – підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше кажучи, покажемо, що є первісною для .

2. Приклади обчислення інтеграла за формулою Ньютона – Лейбніца.

Доцільно навести учням приклади обчислення інтеграла за допомогою цієї формули.

П риклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої частиною параболи , віссю і прямою

Р озв’язання. Використаємо формулу Ньютона – Лейбніца:

(кв.од.).

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої зверху синусоїдою , знизу – віссю , а з боків – прямими

Р озв’язання. Обчислимо за допомогою формули Ньютона – Лейбніца:

(кв. од.).

Висновок

У процесі дослідження і вивчення науково-методичної літератури,

ми прийшли до висновків:

1. перед вивченням теми «Визначений інтеграл та його застосування» доцільно розказати історію виникнення та розвитку інтегрального числення;

2. перш, ніж давати означення інтеграла, треба розглянути приклади задач, які привели до нього;

3. розглянути основні властивості визначеного інтеграла та формулу Ньютона – Лейбніца;

4. курс математики, призначений для профілів гуманітарного напрямку, повинен сприяти, перш за все, становленню гуманітарної культури людини, формувати уявлення про математику як форму опису та метод пізнання дійсності, про роль математики для прогресу суспільства. Він повинен будуватись на основі широкого використання можливостей образного мислення учнів;

курс математики, призначений для профілів природничого напрямку, забезпечуючи гармонійний розвиток образного і логічного мислення, повинен особливу увагу приділяти з’ясуванню ролі математики в сферах її застосувань. Насамперед це означає, що учні повинні оволодіти простими навичками математичного моделювання.

Список використаних джерел

1. Бевз В., Мерзляк А., Слєпкань З. Програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів, 5-11 класи // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 1-14.

2. Бродський Я. С., Павлов О. Л., Сліпенко А. К., Афанасьєва О. М. Проект програми з математики для 10-11 класів технічного та природничого профілів / 1 вересня. – 2000. – № 48. – С. 11-16.

3. Бурда М. І., Дубинчук О. С., Мальований Ю. І. Математика, 10-11: Навчальний посібник для шкіл (класів) гуманітарного спрямування. – К.: Освіта, 2000.

4. Бурда М. І., Жалдак М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М., Шкіль М. І., Ядренко М. Й. Програма поглибленого вивчення математики в 10-11 профільних класах // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 19-25.

5. Бурда М., Мальований Ю. Програма з математики для класів гуманітарного напряму, 10-11 класи // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 14-17.

6. Інструктивно-методичний лист про вивчення математики у 2003/2004 навчальному році // Математика в школі. – 2003. – № 6. – С. 2-7.

7. Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 512 с.