- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
Інтегрування трансцендентних функцій.
Інтеграли виду
(5.15)
де раціональна функція змінних і завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановки (її називають універсальною тригонометричною підстановкою)
(5.16)
Ця підстановка перетворює інтеграл (5.16) до виду
(5.17)
Помітимо, що підстановка (5.16) часто призводить до громіздких викладок, тому її використовують тоді, коли не знайдено інших шляхів інтегрування.
Якщо підінтегральна функція має одну із властивостей
1)
2)
3)
то для обчислення інтегралу зручно використовувати підстановки
1) 2)
3)
Приклад 5.27. Обчислити інтеграл
Розв’язання. Тут тому, поклавши одержимо
Інтеграли виду
(5.18)
де раціональна функція змінних і , завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій з допомогою підстановки Іноді зручно використовувати підстановки
Інтеграли виду
(5.19)
підстановками або і відповідно або завжди можна звести до інтегралів від диференціального бінома.
Зауважимо, що при досить великих степенях зручно застосовувати формули зниження (одержані інтегруванням частинами):
Інтеграли виду
(5.20)
обчислюються після перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму за допомогою формул тригонометрії:
;
;
.
Приклад 5.28. Обчислити .
Розв’язання. Використаємо тригонометричні формули:
Тоді
Інтеграли виду
(5.21)
де многочлен степеня а одна з наступних функцій: обчислюються за допомогою багатократного інтегрування частинами.
Зауважимо, що має місце формула Ейлера
яку можна використати для контролю при обчисленні відповідних інтегралів.
Інтеграли від трансцендентних функцій часто не виражаються через елементарні функції. До таких інтегралів відносяться, наприклад, такі, які часто зустрічаються:
; ; (5.22)
(5.23)
Первісні (5.22), які при перетворюються в нуль, позначаються відповідно (інтегральний синус) та (інтеграл ймовірностей). Первісна (5.23), яка прямує до нуля при позначається та називається інтегральним логарифмом.
5. Поняття визначеного інтегралу
Нехай функція визначена на сегменті і довільне розбиття цього сегменту на частин. Позначимо Виберемо на кожному із сегментів точку і складемо вираз
(5.24)
який назвемо інтегральною сумою.
Означення 5.3. Якщо існує скінчена границя яка не залежить від способу розбиття сегмента і вибору точок то число називають означеним інтегралом функції на сегменті і позначають
(5.25)
функцію називають інтегрованою по Ріману на сегменті .
Означення 5.4. Нижньою та верхньою сумами Дарбу функції на сегменті при фіксованому розбитті цього сегмента, називають відповідно суми
(5.26)
де
Теорема 5.2. Для того, щоб функція була інтегрованою на сегменті необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність
(5.27)
де коливання функції на сегменті .
Зокрема неперервна функція, кусочно-неперервна функція і монотонна на сегменті інтегровані на ньому.