- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
8. Неявно задані функції
Означення 4.14. Якщо змінна , яка є функцією аргументів задається за допомогою рівняння , то говорять, що функція задана неявно.
Наприклад, .
Розглянемо функцію , задану рівнянням
(4.10)
Продиференцюємо рівняння (4.10) по змінній та :
,
З останніх рівностей одержимо формули:
, .
Аналогічно можна ввести поняття частинних похідних другого, третього, будь-якого порядку.
Іноді неявні функції визначають системою функціональних рівнянь. Нехай функції знаходять як розв’язки системи рівнянь:
(4.11)
Розглянемо визначник:
.
Цей визначник називають визначником Якобі або якобіаном функцій по змінним .
Продиференцюємо рівняння системи (4.11) по змінній :
Цю систему можна розв’язати відносно змінних , ..., по формулам Крамера. Одержимо формули для знаходження частинних похідних:
.
9. Умовний екстремум
Розглянемо функцію
. (4.12)
Нехай виконуються умови:
(4.13)
Дослідження функції (4.12) на екстремум при виконанні умов (4.13) називають задачею на умовний екстремум.
Існує декілька шляхів розв’язання цієї задачі. Розглянемо метод Лагранжа.
Побудуємо допоміжну функцію
,
де – поки що невідомі множники Лагранжа. Будемо досліджувати побудовану функцію на локальний екстремум.
Приклад 4.7. Знайти умовний екстремум функції при умові: .
Розв’язання. Побудуємо функцію Лагранжа:
.
Дослідимо цю функцію на екстремум. Запишемо необхідну умову екстремуму та знайдемо стаціонарні точки з системи:
Стаціонарними точками будуть: при , при . Знайдемо другий диференціал в стаціонарних точках за формулою:
.
Для точки :
.
Знак другого диференціалу невизначений, тобто в цій точці немає ні максимуму ні мінімуму.
Для точки : .
Оскільки , то . Тоді одержимо:
, тобто в цій точці максимум.
10. Найбільше і найменше значення функції в області
Якщо функція визначена і неперервна в замкнутій обмеженій області , то вона набуває в цій області свого найбільшого і найменшого значень.
Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції в області потрібно знайти всі критичні точки всередині області, обчислити значення функції в цих точках, потім знайти найбільше і найменше значення функції на границі області і з усіх отриманих таким чином значень вибрати найбільше і найменше.
Приклад 4.8. Знайти найбільше і найменше значення функції в замкнутій області, обмеженої лініями , , (рис.4.5).
Рис. 4.5.
На маємо , . На маємо , . На маємо і функція набуває вигляду причому . Похідна цієї функції при . Значення функції в цій точці .
На границях відрізка у точках і значення функції .
Порівнюючи знайдені значення, дійдемо висновку, що найбільше значення функції в даній області досягається всередині області в точці , тут . Найменшого значення функція набуває на межі області у точці , тут .