Домножим обе части неравенства на (–1), при этом поменяется и знак неравенства

(х+8)(х–6)>0

решим его методом интервалов.

1. Корни уравнения (х+8)(х–6)=0 мы нашли: х₁=−8, х₂=6.

2. Нанесем их на числовую прямую

3. О пределим знак неравенства на промежутке (6; +)

х=7, А(7)=(7+8)(7-6)=151=15>0

Ответ: (–; –8)(6; +).

Пример 3. Решить неравенство методом интервалов

1. Приведем неравенство к виду А(х)<0

1. Для этого, все члены из правой части перенесем в левую с противоположным знаком и приведем все дроби к общему знаменателю

2. Домножим обе части неравенства на 30 (так как 30>0, знак неравенства не изменится), раскроем скобки и приведем подобные члены

3. Разложим левую часть полученного неравенства на множители

;

2. Методом интервалов решим полученное неравенство, которое равносильно первоначальному.

6(х–6)(х– )<0

Нанесем на числовую прямую корни уравнения A(x)=0

Найдем знак левой части на промежутке (6; +)

x =7, А(7)=6(7–6)(7– )=6 =41>0  A(x)>0. Ответ:

Решение дробно- рациональных неравенств с одной переменной методом интервалов

Дробно-рациональным называют неравенство вида (1)

(вместо знака > могут стоять знаки <, ≥, ≤.), где и - многочлены.

План решения.

1. Если неравенство не имеет вид (1), то привести его к этому виду: перенести все слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю, а в правой части оставить нуль.

2. Найти нули числителя - корни уравнение P(x)=0.

3. Найти нули знаменателя – корни уравнения Q(х)=0.

4. Нанести нули числителя на числовую прямую с учетом знака неравенства:

- если неравенство нестрогое (стоят знаки ≥, ≤ ), то точки закрашенные (числитель может равняться нулю);

- если неравенство строгое (стоят знаки >,< ), то точки не закрашенные.

5. Нанести нули знаменателя на числовую прямую: точки не закрашенные для любого знака неравенства (знаменатель не может равняться нулю).

6. Определить кратность нулей.

Пример. Нули числителя: х₁=-5; х₂= 2; х₃= 7

Нули знаменателя: х₄=х₅=2; х₆=7.

Корни: х = -5 кратности 1, х = 2 кратности 3, х = 7 кратности 2.

Замечание 1. Корни четной кратности подчеркнуть двойной чертой.

7. Найти знак левой части неравенства на каждом из полученных интервалов. Для этого на одном из интервалов выберем какое-то значение x=x₀ и, подставив это значение в левую часть неравенства, определим знак А(х) на выбранном интервале (метод пробных точек), а потом учесть, что:

а) А(х) меняет знак при переходе от одного промежутка к соседнему через корень нечетной кратности;

б) А(х) не меняет знак при переходе через корень четной кратности.

8. Выберем те промежутки, где выполняется заданное неравенство (отметим их штрихами - заборчиком).

Замечание 2. В случае A(x)0 корни уравнения A(x)=0 являются решениями неравенства (закрашенные точки на числовой прямой).

4. Запишем ответ.

Пример 1.

1. Нули числителя: (х–5)(2х+6)=0  х=5 или х=−3;

2. Нули знаменателя: (6–3х)(х+8)=0  х=2 или х=−8.

3. Н анесем полученные значения х на числовую прямую

4. Определим знак левой части неравенства на интервале [5; +).

х=6,