§ 30.3. Влияние размеров и немонохроматичности излучения источника света на контраст интерференции

Увеличение размеров источника света приводит к ухудшению контрастности интерференционных полос или даже к их полному исчезновению. Для понимания этого эффекта рассмотрим сначала классическую интерференционную схему – щели Юнга, в которой вместо точечного первичного источника S поместим две некогерентные светящиеся точки А и В, находящиеся на расстоянии l друг от друга (см рис.30.7). Пусть из точки А лучи идут к щелям S₁ и S₂ экрана Э под углами ₁ и ₂. Заметим, что в пределах принятой точности угол ₁’ для точки В можно отождествить с углом ₁ для точки А, а угол ₂’с углом ₂. В дальнейшем это будет делаться без особых оговорок.

Оптическая разность хода для лучей, исходящих из точки А и попадающих в точку Р через щели S₁ и S₂, будет равна

₁ = AS₂ + S₂P – AS₁ – S₁P , (30.19)

а для лучей, исходящих из точки В,

₂ = BS₂ + S₂P – BS₁ – S₁P (30.20)

Разность этих величин  = ₁ – ₂ характеризует фазовый сдвиг интерференционной картины от светящейся точки А относительно интерференционной картины от светящейся точки В. Фактически эта величина  определяет результат наложения этих картин одной на другую. Если  = 0, то максимумы одной картины наложатся на максимумы другой, а минимумы – на минимумы другой. Таким образом при  = 0 интерференционные картины от светящихся точек А и В усилят друг друга (см. 30.8а). Если же , то произойдет наложение максимумов одной картины на минимумы другой, и интерференция от совокупности источников света А и В в окрестности точки Р наблюдаться не будет (рис.30.8б). Условие хорошей контрастности интерференционной картины от совокупности светящихся точек А и В можно определить следующим образом (см. рис.30.8в):

(30.21)

Допустим теперь, что источник света протяженный и имеет форму равномерно светящейся линии АВ длины l, все точки которой излучают свет некогерентно (см. рис.30.9). Разобьем этот светящийся отрезок на бесконечное множество пар некогерентных точечных источников (на рис.30.9 приведен пример такой пары – источники С и С’), находящихся на расстоянии друг от друга. Применим к этим парам источников результат, полученный ранее, то есть формулу (30.21). Тогда условие хорошей контрастности интерференционной картины от протяженного источника света будет иметь вид:

(30.22)

или окончательно

(30.23)

Таким образом, для наблюдения интерференционной картины необходимо, чтобы размеры источника света не превышали определенного предела, который зависит от расположения источника в интерференционной схеме и длины волны света. Источники света, размеры и расположение которых удовлетворяют условию (30.23), называются пространственно когерентными.

В частном случае, когда протяженный источник света АВ расположен симметрично относительно оси интерференционной схемы (см. рис.21.10), то для углов ₁ и ₂ справедливо приближенное равенство ₂   – ₁ и, соответственно, cos₂  –сos₁, в результате чего условие (30.23) можно преобразовать к виду (см. рис.30.10)

, (30.24)

где 2 – угол между крайними интерферирующими лучами, называемый апертурой интерференции. Итак, при наличии указанной симметрии между размерами протяженного источника и апертурой интерференции имеется простое соотношение

(30.25)

Необходимо подчеркнуть, что при произвольном расположении протяженного источника света в интерференционной схеме, условие (30.25) не правомерно и следует пользоваться соотношением (30.23).

Если условия опыта таковы, что расстояния от произвольной точки протяженного источника света до щелей S₁ и S₂ в интерференционной схеме Юнга практически равны (т.е., например, AS₁  AS₂  r, где r – расстояние от источника света до щелей), то, как это следует из рис.30.7, имеет место приблизительное равенство

(30.26)

Тогда из (30.23) и (30.26) имеем

, (30.27)

где – угловой размер протяженного источника, если его рассматривать в месте расположения щелей. Например, если в качестве источника света использовать Солнце, угловой размер которого   30’= 0,0087 рад, то для длины волны видимого света  = 550 нм условие хорошей когерентности интерференционной картины реализуется только при d < 0,06 мм, что вряд ли может быть реализовано на практике. Именно этими обстоятельствами объясняются результаты известного опыта Гримальди^*.

В 1920 году американский физик А.Майкельсон (1852 – 1931) построил звездный интерферометр, с помощью которого впервые измерил угловые размеры некоторых звезд. Свет от звезды отражался от симметричной системы зеркал М₁, М₂, М₃ и М₄, установленных на жестком каркасе (см. рис.30.11). В отличие от зеркал М₃ и М₄, которые были неподвижны, зеркала М₁ и М₂ могли симметрично перемещаться, удаляясь или приближаясь к зеркалам М₃ и М₄ (таким образом можно было регулировать эффективное расстояние d между щелями. Ход лучей ясен из рисунка 30.11. В фокальной плоскости линзы возникали интерференционные полосы, видность которых зависела от расстояния между внешними зеркалами. Варьируя расстояние d, Майкельсон добивался исчезновения интерференционной картины и по соотношению (вытекающему из (30.27)) оценивал угловой размер звезды. Первой звездой, у которой был определен угловой размер, была Бетельгейзе из созвездия –Ориона (  0,05”).

Как и увеличение размеров источников света, немонохроматичность света ведет сначала к ухудшению контраста (видности) интерференционной картины, а затем и к полному ее исчезновению. Чтобы не усложнять исследование учетом конечных размеров источника, будем предполагать, что источник света S точечный.

Допустим сначала, что излучение источника немонохроматично и состоит из двух спектральных линий одинаковой интенсивности с длинами волн  и ’=+ (причем будем считать, что  << , ’). Геометрическое место точек на экране, которое соответствует оптической разности хода, равной нулю, называется центром интерференционной картины (в опыте Юнга будет линия, полученная в результате пересечения плоскости симметрии схемы с экраном). В центр интерференции лучи как с длиной волны , так и с длиной волны ’, придут с одинаковой разностью хода и дадут светлую полосу. Будем мысленно перемещаться по экрану от центра интерференционной картины. При этом оптическая разность хода для когерентных лучей от источников S₁ и S₂ будет монотонно увеличиваться. В тех местах экрана, где выполняется условие  = m (m – целое число), будет наблюдаться светлая полоса для света с длиной волны , а в тех местах, где выполняется условие ’= m’ – для света с длиной волны ’. Ясно, что положения максимумов и минимумов интерференционной картины для лучей с длиной волны  и с длиной волны ’ не будут совпадать. Поскольку  << , ’, то первоначально это расхождение не будет играть существенной роли. Однако, когда будет реализовано условие

m’= m( + ) = (m + ), (30.28)

где m – целое число, равное номеру полосы, максимум одной волны (’) наложится на минимум другой волны () и интерференционная картина в этой области экрана полностью исчезнет. Номер m полосы, по мере приближения к которой видность интерференционной картины обращается в нуль, может быть определен из условия (30.28)

(30.29)

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда свет в источнике непрерывно и равномерно распределен в интервале длин волн от  до ’= +. Подобно тому, как это рассматривалось в случае интер-ференции протяженного источника света, разобьем весь спектральный интервал (  +) на множество пар бесконечно узких спектральных линий, отстоящих друг от друга по длине волны на . К каждой такой паре применим полученный ранее вывод (30.29) (только вместо  надо положить ). Таким образом, для немонохроматического источника света с непрерывным и равномерным спектральным распределением излучения в интервале от  до + условие исчезновения интерференции принимает вид

, (30.30)

где m – номер дифракционной полосы, для которой видность дифракционной картины обращается в нуль.

Формула (30.30), как оценочная, остается верной и в случае произвольного распределения света источника по длинам волн в интервале   +. Эта формула позволяет дать оценку максимально возможного порядка интерференции, который может наблюдаться при заданной степени немонохроматичности источника света.

Поскольку порядок интерференции связан с разностью хода интерферирующих лучей ( = m), то можно условие исчезновения интерференционной картины для немонохроматического света преобразовать к условию для разности хода, при которой интерференционная картина исчезает

(30.31)

Величина называется длиной когерентности. Для наблюдения контрастной интерференционной картины в интерференционной схеме необходимо обеспечить условие, при котором максимальная разность хода интерферирующих лучей была бы много меньше длины когерентности применяемого источника света. Для примера укажем, что длина когерентности свечения разреженных газов L_К ~ 10^-1 м, а для типичного лазера L_K ~ 10³ м.

Из общих соображений понятно, что длина когерентности не может быть больше длины цуга волн (L_K c_p, где _р – время излучения цуга волн источником света). Указанное соотношение с учетом того, что ( – частота излучения) и , можно представить в виде

(30.32)

Или окончательно

(30.33)

Таким образом, между временем излучения цуга волн и немонохроматичностью источника света существует определенная связь. Фундаментальность такого соотношения имеет квантовомеханическое обоснование (см. третью книгу настоящего учебника) – по сути дела, выражение (30.33) отражает соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Время излучения цуга волн источником света показывает верхний предел возможного запаздывания “родных” половинок цуга, при котором еще может наблюдаться интерференция. По этому поводу, в отличие от пространственной когерентности, говорят о временной когерентности. Длительность излучения цуга волн источником называют, в этой связи, временем когерентности.

Таким образом, пространственная когерентность будет тем больше, чем меньше будут линейные размеры источника света, а временная когерентность будет тем выше, чем больше будет время когерентности или, что то же самое (см. (30.33)), чем уже будет спектральный интервал излучения источника.