1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению
.
Решение.
Находим частную производную первого порядка по х, считая, что у
постоянная :
.
Использовали формулу производной сложной функции
.
Находим частную производную первого порядка по у, считая, что х
постоянная:
.
Использовали формулу производной сложной функции
.
Находим частную производную второго порядка по у от
,
Считая, что х постоянная:
.
Использовали правило нахождения производной произведения
и формулу производной сложной функции
.
Находим частную производную второго порядка по у от
,
Считая, что х постоянная:
Подставив , , в уравнение ,
получим тождество
,
+ = ,
= ,
0 = 0.
Значит, функция удовлетворяет уравнению
,
т. е. функция является корнем уравнения
.
2. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .
Решение.
Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:
где и - координаты точек и М соответственно.
.
Определим направляющие косинусы вектора , для чего найдем модуль вектора :
,
; .
Вычислим частные производные функции в точке :
, .
, .
Получим:
.
Таким образом, производная функции в точке по направлению вектора равна .
Так как , то функция
возрастает по направлению вектора .
3. Найти градиент функции в точке и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.
Решение.
Для нахождения градиента функции воспользуемся формулой
Находим частную производную первого порядка по х, считая, что у - постоянная:
.
Её значение в точке А (2; 1) равно
.
Находим частную производную первого порядка по у, считая, что х - постоянная:
.
Её значение в точке А (2; 1) равно
.
Следовательно, градиент функции
в точке А (2; 1) равен , т. е. .
Наибольшую скорость изменения функции в точке А (2; 1) найдем по формуле
.
4. Исследовать функцию на экстремум.
Решение.
Критические точки (возможного экстремума) функции двух переменных находятся из системы двух уравнений:
(необходимое условие экстремума функции). Найдем частные производные первого и второго порядка:
, ,
, , .
Для нахождения точек возможного экстремума решим систему уравнений
Таким образом, получили две критические точки и . Исследуем каждую из полученных точек на экстремум, используя достаточное условие экстремума:
а) для точки получим:
, ,
.
, так как , то функция имеет экстремум в точке , а именно – максимум, т. к. (достаточное условие экстремума).
б) для точки получим:
, ,
.
, так как , то функция не имеет экстремума в точке .
5. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции в области решений системы линейных неравенств