3. Одиниці логіки
Поняття
Поняття — це мисленнєве відображення, яке шляхом вказівки на деяку ознаку (їх множину) виділяє з універсуму й узагальнює в один клас об’єкти чи явища, яким притаманна ця ознака.
Тут універсум — це множина всіх можливих об’єктів, явищ чи властивостей. Серед ознак можуть бути й ті, що відрізняють їх від інших об’єктів, явищ та властивостей.
Твердження
Твердження — це така думка (форма мислення), яка встановлює чи заперечує зв’язок між предметом і його ознакою або між кількома предметами.
У природній мові твердження реалізується в формі розповідного речення теперішнього чи минулого часу. Речення, що описують майбутній час, твердженнями не є, адже стосовно них не можна сказати істинні вони чи хибні).
Твердження має лише два значення: істинність або хибність.
Будова твердження:
— у формальній логіці:
Усі S є P;
виділяють логічний підмет і логічний присудок, а в присудку — предикат (може бути з часткою НЕ)
Аналогічне позначення в логіці предикатів:
x P (x)
Ще приклад:
x P (x, y)
Виділяють:
— терміни (змінні)
— предикати
— квантори (значення: ВСІ — , ДЕЯКІ — ; в логіці «1» об’єкт тотожний ВСІ)
Типові нові квантори:
— часу
— місця
— ситуації
— інші (норм, оцінок тощо)
Будова твердження в математичній логіці:
S Іван співає ТОТОЖНО: S Q [P (x)];
S Іванко любить Марічку ТОТОЖНО: S Q [P (x, y)],
де Q — квантор кількості (значення: всі, деякі, один, невизначеність);
P — предикат твердження;
x — змінна твердження, яка в реченні відіграє роль підметів (суб’єктів дії).
y — змінна твердження, яка в реченні відіграє роль прямих додатків (об’єктів дії).
Квантори позначають:
— — означає «всі»; читають: x — будь-який x;
— — означає «деякі»; читають: x — деякі x АБО існують такі x, що…;
Твердження
Іванко любить Марічку: S x [P (x, y)],
читають так:
Існує такий Іванко, що цей Іванко любить Марічку
АБО:
Існує такий Іванко, який любить Марічку
Будова типового твердження в тексті:
Минулого тижня в Запоріжжі Іванко покохав іншу дівчину: S T, L, Q [P (x, y)],
де T — квантор часу на однонапрямленій прямій (значення: завжди, на відрізку часу, в точці (моменті) часу, невизначеність);
L — квантор місця в тривимірному просторі (значення: всюди, частина простору, точка простору, невизначеність).
Змінна може бути одна (Іван співає), може бути більше, ніж дві (Земля перебуває в просторі між Марсом та Венерою) — 3, 4, 5….
Квантори місця й часу у формальній логіці опускають.
Аналізуються також запитальні речення.
Вивід — це така форма мислення, в якій з одного, двох чи більше відомих тверджень отримують нове твердження.
Вивід містить:
— засновок (один чи більше);
— висновок.
Для отримання із засновку (засновків) висновку використовують операцію виведення.
Види виводів:
— вивід логіки висловлювань (висновок виводиться з будь-якої кількості тверджень за таблицями істинності);
— безпосередній вивід (2 твердження певним чином пов’язані між собою — другий виводиться з першого);
— силогістичний вивід, тобто силогізм (3 твердження певним чином пов’язані між собою — третій виводиться з двох перших);
— полісилогістичний вивід, тобто полісилогізм (n тверджень певним чином пов’язані між собою — ланцюжок безпосередніх виводів і силогізмів).
Твердження у виводах можуть поєднуватися сполучниками:
— НЕ (заперечення); позначають або горизонтальною лінією над літерою Ā;
— І (кон’юнкція); позначають або &
— АБО (диз’юнкція), причому розрізняють слабку диз’юнкцію (позначають ; в тексті відповідає конструкціям на зразок: Іван АБО Петро1) та сильну диз’юнкцію (позначають ; в тексті відповідає конструкціям на зразок: АБО Іван, АБО Петро2)
— ЯКЩО… ТО… (імплікація) позначають
— ТОТОЖНО (ще називають еквіваленцією) позначають
Концепції та теорії:
Це системи (ланцюжки) виводів.
Нп: задаються аксіоми, з цих аксіом виводять теореми, з цих теорем — інші теореми і так само далі.
Залежно від множини використовуваних аксіом теорії можуть змінюватися (нп: евклідова геометрія й неевклідова геометрія; в неевклідовій геометрії додали ще одну аксіому про те, що дві паралельні прямі можуть перехрещуватися).