- •1. Основные понятия теории вероятностей: событие (случайное, достоверное, невозможное, противоположное), совместные и несовместные события, равновозможные события.
- •2. Операции над событиями (сумма, произведение, разность).
- •3. Элементарное событие. Генеральная совокупность.
- •4. Классическое определение вероятности.
- •5. Свойства вероятности.
- •6. Геометрическая вероятность.
- •13. Формула Байеса
- •14. Схема Бернулли
- •15. Полиномиальная схема
- •16. Аксиоматическая теория вероятностей: вероятностное пространство, сигма-алгебра, случайная величина.
- •17. Дискретная случайная величина
- •20. Некоторые распределения дискретных случайных величин: биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое.
- •21. Пуассоновское распределение, теорема Пуассона.
- •22. Некоторые распределения непрерывных случайных величин: равномерное на отрезке, показательное, нормальное, распределение Вейбулла.
- •23.Математическое ожидание для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •24. Свойства математического ожидания.
- •25. Дисперсия для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •27. Начальные центральные моменты для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •28. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.
- •29. Функции от дискретных и непрерывных случайных величин.
- •34. Корреляция, свойства корреляции.
- •35. Регрессия. Линейная регрессия.
- •36. Характеристическая функция, её свойства.
- •38. Теорема Чебышева
- •39. Закон больших чисел (теорема).
- •40. Центральная предельная теорема.
- •41. Теорема Ляпунова
- •42. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •44. Теорема Берри-Эссеена.
- •45. Функция от многомерной случайной величины (на примере двумерных дискретных и непрерывных случайных величин).
- •46. Свертка и её свойства.
- •47. Выборка, вариационный ряд (дискретный и интервальный), ранжирование.
20. Некоторые распределения дискретных случайных величин: биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое.
Биноминальное распределение: Пусть - число успехов в n независимых испытаниях (т. е. = k). Тогда ряд распределения имеет следующий вид:
|
0 |
1 |
… |
i |
… |
n |
P |
qn |
pqn |
… |
Cnipiqn |
… |
pn |
Геометрическое распределение: рассмотрим схему Бернулли. Пусть - число испытаний пока не появится успех. Тогда имеет геометрическое распределение, которое задано следующим рядом:
|
0 |
1 |
… |
i |
… |
n |
… |
P |
p |
qpn |
… |
qipn |
… |
qnp |
… |
Гипергеометрическое распределение: Пусть имеется n = n1 + n2 + … + nk частиц, где ni – число частиц i-того типа ( ). Событие А состоит в том, что встречается ровно i-того типа частиц. Тогда
21. Пуассоновское распределение, теорема Пуассона.
(закон редких событий) Распределение не отрицательной дискретной или величины, которая имеет следующий ряд распределений: - параметр Пуассона.
|
0 |
… |
i |
… |
n |
… |
P |
|
… |
|
… |
|
… |
по закону Пуассона распределение случайной величины тогда, когда в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность успеха некоторого испытания очень мала.
Теорема Пуассона: Пусть в схеме Бернулли n велико ( )., а вероятность успеха p мала, при этом мало произведение , тогда вероятность k успехов в n испытаниях вычисляется по формуле Пуассона:
Док-во: в схеме Бернулли Дано: p мало, - мало.
22. Некоторые распределения непрерывных случайных величин: равномерное на отрезке, показательное, нормальное, распределение Вейбулла.
Равномерное распределение на отрезке [a;b]: плотность распределения равномерно распределенной случайной величины имеет следующий вид:
Показательное (экспоненциальное) распределение для положительных случайных величин: ;
Пример: по экспоненциальному закону распределения времени распадов атомов различных элементов, при этом - среднее врем распада атома, - период полураспада.
Характеристическое свойство экспоненциального распределения случайных величин: отсутствие последействия, т.е. вероятность того, что при условии что - это время распада атома, который успел прожить время х1 совпадает с безусловной вероятностью того, что атом распадается за время x2.
Нормальное распределение: Будем говорить, что случайная величина распределена по нормальному (Гауссову) закону, если она имеет следующую плотность распределения:
- параметры нормального распределения,
- математическое ожидание (среднее значение) нормального закона
- среднеквадратичное отклонение нормального закона.
- функция распределения
Если , то это стандартное нормальное распределение.
Распределение Вейбулла:
Пример: Распределение Вейбулла имеют времена безотказной работы многих технических устройств, например, ЭВМ.
Если , получаем экспоненциальное распределение.