- •1. Основные понятия теории вероятностей: событие (случайное, достоверное, невозможное, противоположное), совместные и несовместные события, равновозможные события.
- •2. Операции над событиями (сумма, произведение, разность).
- •3. Элементарное событие. Генеральная совокупность.
- •4. Классическое определение вероятности.
- •5. Свойства вероятности.
- •6. Геометрическая вероятность.
- •13. Формула Байеса
- •14. Схема Бернулли
- •15. Полиномиальная схема
- •16. Аксиоматическая теория вероятностей: вероятностное пространство, сигма-алгебра, случайная величина.
- •17. Дискретная случайная величина
- •20. Некоторые распределения дискретных случайных величин: биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое.
- •21. Пуассоновское распределение, теорема Пуассона.
- •22. Некоторые распределения непрерывных случайных величин: равномерное на отрезке, показательное, нормальное, распределение Вейбулла.
- •23.Математическое ожидание для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •24. Свойства математического ожидания.
- •25. Дисперсия для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •27. Начальные центральные моменты для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •28. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.
- •29. Функции от дискретных и непрерывных случайных величин.
- •34. Корреляция, свойства корреляции.
- •35. Регрессия. Линейная регрессия.
- •36. Характеристическая функция, её свойства.
- •38. Теорема Чебышева
- •39. Закон больших чисел (теорема).
- •40. Центральная предельная теорема.
- •41. Теорема Ляпунова
- •42. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •44. Теорема Берри-Эссеена.
- •45. Функция от многомерной случайной величины (на примере двумерных дискретных и непрерывных случайных величин).
- •46. Свертка и её свойства.
- •47. Выборка, вариационный ряд (дискретный и интервальный), ранжирование.
38. Теорема Чебышева
При достаточно больших n для последовательности случайных независимых величин таких что - положительное число, справедливо неравенство:
Док-во: Пусть - независимые случайные величины, рассмотрим - случайная величина. ,
Подставим в неравенство Чебышёва , тогда
т.к. по условию
т.к. для любого h>0 сколь угодно малого n:
39. Закон больших чисел (теорема).
Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины (имеют одинаковые характеристики, если эти характеристики существуют). Пусть существует , , тогда для любого справедливо:
Док-во: Пусть , ,
Подставим в неравенство Чебышёва , тогда
(**)
Замечание: Для выполнения закона больших чисел необходимым и достаточным условием является существование мат ожидания , более того существует последовательность независимых случайных величин, которые не имеют ни , ни , но при этом для них выполняется закон больших чисел.
Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины.
- случайная величина для которой выполняется ЗБЧ.
Рассмотрим последовательность: . Для этой последовательность не гарантируется выполнение ЗБЧ для каждого элементарного события w. Тогда Пусть не сходится к а}
Если ЗБЧ выполняется при P(A)=0, то это усиленный ЗБЧ.
Теорема: (усиленный ЗБЧ)
Существование мат ожидания является необходимым и достаточным условием выполнения усиленного ЗБЧ для последовательности независимых одинаково-распределенных случайных величин постоянная, а в этом случае совпадает с мат ожиданием , т.е. Пусть существует - независимая случайная величина, пусть существует выполняется усиленный ЗБЧ при этом в пределе (**).
40. Центральная предельная теорема.
Пусть - независимые одинаково распределенные случайные величины, пусть существует конченое и , тогда для любого , где - функция стандартного нормального распределения , если обозначить , то нормальная случайная величина
Док-во: т.к. непрерывная функция, то сходимость в каждой точке последовательности функции распределения случайной величины к является слабой сходимостью.
Тогда для доказательства можно воспользоваться теоремой непрерывности.
Теорема непрерывности: Последовательность функция распределения слабо сходится к некоторой последовательность характеристических функций сходится к характеристической функции равномерно на каждом отрезке
Пусть - характеристическая функция => - характеристическая функция
по свойству характеристической функции
Т.О. , по свойству характеристической функции существуют и
Тогда рассмотрим для этой функции можно построить ряд Маклорена по степеням до 2 числа включительно.
=>
=> - характеристическая функция стандартного нормального распределения.
Покажем, что , где - характеристическая функция стандартного нормального распределения
Пусть t = x1
Замена: y = x – it
41. Теорема Ляпунова
Сумма независимых случайных величин имеет распределение, которое с ростом n приближается к нормальному, если выполняются условия: 1) существую конечные и 2) ни одна из случайных величин по своим значениям не отличается от остальных (т.е. резко не отличаются друг от друга).
Имеет большое практическое значение. Экспериментальным образом доказано, что уже при n>10 сумму независимых случайных величин можно рассматривать как нормально распределенную случайную величину.
Формулировка теоремы Ляпунова для дискретной случайной величины:
, где - значения случайной величины x (при n независимых испытаниях).
Если случайная величина x имеет конечное и ,то распределение среднего арифметического вычисленного по наблюдавшимся значениям случайной величины x, проведенных в одинаковых условиях при приближается к нормальному.
и ,
, где ,
- функция Лапласа.