Решение типовой задачи.
Найти матрицу и XT, если:
A = , B = , C =
Решение. Поскольку размеры матриц A и B равны 3x3 и 3x2,соответственно, размер матрицы AB равен 3x2.
Пусть . Элемент d11 находится на пересечении первой строки и первого столбца, поэтому он равен сумме произведений элементов первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, т. е. , элемент d12 равен сумме произведений элементов первой строки матрицы A на элемент второго столбца матрицы B, так как он стоит на пересечении первой строки и второго столбца, т. е. . Аналогично находим: ,
, , .
Значит, . Умножая все элементы матрицы AB на 3, найдём . Очевидно, .
Складывая элементы матрицы с соответствующими элементами матрицы , найдем матрицу
Меняя строки и столбцы местами, найдем транспонированную матрицу
Задание 3. Вычислить определитель четвертого порядка, разлагая его по элементам первой строки:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14.
15. 16. 17.
18. 19. 20.
Решение типовой задачи.
Вычислить определитель четвертого порядка
, разлагая его по элементам первого столбца.
Решение. Преобразуем определитель, не меняя его величины. Прибавим к второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей первую, из четвертой вычтем первую, умноженную на 3, получим
.
Теперь разложим полученный определитель по элементам первого столбца:
,
где A11, A21, A31, A41, – алгебраические дополнения элементов a11, a21, a31, a41.
Последний определитель вычисляем по правилу треугольников:
Его можно вычислить также разложением по элементам первого столбца, предварительно прибавив вторую строку, умноженную на 3, к первой строке, вторую строку, умноженную на 4 – к третьей строке:
Заметим, что вычисления определителя путем разложения его по строке (столбцу) тем эффективнее, чем больше нулей в строке (столбце). Нули в строке (столбце) можно получить, применяя преобразования, не меняющие величины определителя.
Задание 4. Решить систему линейных уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы):
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
Решение типовой задачи.
Решить систему уравнений матричным методом.
Решение. Обозначим через A матрицу из коэффициентов исходной системы, через B – столбец из свободных членов, а через X – столбец из неизвестных, т.е.
, , .
Таким образом исходную систему можно записать в матричном виде AX=B.
Определитель , поэтому для матрицы A существует обратная матрица A-1. Умножив обе части равенства AX=B слева на матрицу A-1, получаем . Так как , EX=X, то равенство примет вид X=A-1B.
Эта формула является матричной записью решения исходной системы.
Найдем матрицу A-1, обратную матрице A, с помощью элементарных преобразований:
откуда .
Тогда искомое решение определяется равенством:
.
Задание 5. Найти сумму ряда.
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
31. |
|