Выборки с возвращением

Выборка с возвращением объема из генеральной совокупности, содержащей элементов, называется размещением с повторениями из по . Число размещений с повторениями из элементов по найдем из следующих соображений. Каждый элемент может быть выбран способами, а общее число способов формирования выборки объема подсчитывается на основании правила умножения. Следовательно,

.

Выборка с возвращением объема из содержащей элементов генеральной совокупности называется перестановкой с повторениями, если во все выборки элемент входит раз, элемент раз, …, элемент раз, причем . Определим число перестановок с повторениями. Для этого учтем, что элемент может быть выбран раз в ходе последовательных извлечений способами, элемент может быть выбран раз в ходе остальных извлечений способами, …, элемент может быть выбран раз в ходе извлечений способами и, наконец, элемент может выбран способом. Отсюда, используя правило умножения, запишем

. (10)

Подставив выражение (3) в (10), после сокращения получим

(11)

Выражение (11) можно получить и другим способом. Из элементов, составляющих выборку, можно сформировать перестановок. Однако из-за наличия в выборке повторяющихся элементов часть перестановок будет неразличима между собой. Так, неразличимыми являются перестановок, образованных взаимным обменом мест между элементами перестановок, образованных взаимным обменом мест между элементами , и т.д. Отсюда, используя правило умножения, приходим к выражению (11).

Отличающиеся только составом элементов выборки с возвращением объема из генеральной совокупности, содержащей элементов, называются сочетаниями с повторениями из по . Определим число сочетаний с повторениями из элементов по . Для этого расположим элементы выборки в один ряд, причем вначале поместим все входящие в выборку элементы , затем

– все входящие в выборку элементы и т. д. На границах между элементами различных типов будем устанавливать не входящий в генеральную совокупность пограничный элемент . При этом, даже в случае отсутствия в выборке каких-либо элементов генеральной совокупности, границы их возможного расположения будем отмечать элементами .

Например, при и в числе различных по положению пограничных элементов выборок будут и такие:

Таким образом, число пограничных элементов, вносимых в каждую выборку, должно быть на единицу меньше числа элементов генеральной совокупности, а общее число элементов выборки и пограничных элементов равно . Очевидно, что число выборок с возвращением, различающихся составом, совпа-

дает с числом способов, каким можно расположить пограничный элемент на

позициях, а это число равно . Следовательно,

(12)

Примечание. В комбинаторных расчетах часто используется формула Стирлинга

, (13)

которая облегчает вычисление при больших значениях .