- •1 Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- •2Частные производные функции нескольких переменных
- •3 Дифференциал функции нескольких переменных
- •4Дифференцирование сложных функций.
- •5 Дифференцирование функций, заданных неявно.
- •6 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8Формула Тейлора для функций нескольких переменных.
- •9Условный экстремум функции нескольких переменных
- •10Определение вероятности
- •11Геометрическое определение вероятности
- •12Формула полной вероятности.
- •13Элементы комбинаторики
- •14Схема Бернулли
- •15Теоремы Муавра-Лапласа
- •16 Дискретная случайная величина и закон ее распределения
- •17 Непрерывные случайные величины
- •18Числовые характеристики случайных величин.
- •19 Cм 18Дисперсия случайной величины
- •23Среднее арифметическое
3 Дифференциал функции нескольких переменных
Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции
,
где dxi xi (i=1, ..., m), если x1, ..., xm - независимые переменные.
Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х1, ..., хm являются функциями некоторых переменных t1, ..., tk. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы
Например, для дифференциала произведения рассуждаем следующим образом. Рассмотрим функцию = u . v двух переменных u, v. Дифференциал этой функции равен
но следовательно,
d = v . du + u . dv.
Применение полного дифференциала для приближенных вычислений.
Пусть задана функция z=f(x,y) рассмотрим ее полное приращение.
Dz=f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y)
При малых Dх и Dу à Dz»dz è
f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y) » z/x¶·Dx+z/y·dy®
f(x+Dx,y+Dy)» f(x,y)+z/x·dx+z/y·dy — формула для приближенных вычислений.
Эта формула позволяет вычислять приближенное значение функции в точке р1 по известному ее в точке р и значением ее частных производных в точке р. Чем меньше Dх и Dу, тем меньше погрешность.
4Дифференцирование сложных функций.
Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:
z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.
Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:
dz/dt = z/x·dx/dt+ x/y·dy/dt [**]
Док-во: Дадим переменной t приращение Dt, при этом х=х(t) получит приращение Dх, а у=у(t) à Dу, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение Dz, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:
Dz=z/x·Dx + z/y·Dy + a
разделим на Dt и перейдем к пределу
Lim(Dt®0)Dz/Dt = z/x·Lim(Dt®0)Dx/Dt +
+ z/y·Lim(Dt®0)Dy/Dt + Lim(Dt®0)a/Dt
dz/dt = z/x·dx/dt + z/y·dy/dt + Lim(Dt®0) a/r·r/Dt è 0
r=ÖDx2+Dy2Ø
Lim(Dt®0)a/r=0 - по определению дифференциала.
Lim(Dt®0)r/Dt = Lim(Dt®0)Ö(Dx/Dt)2+(Dy/Dt)2Ø=
=Ö(dx/dt)2+(dy/dt)2ع¥
Формула [**] доказана.
Рассмотрим частный случай сложной функции:
z= f[x,y(x)] = z(x)
в ф-ле [**] вместо tàх, получим
dz/dx= z/x·dx/dx+ z/y·dy/dx
dz/dx= z/x+ z/y·dy/dx [***]
Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.
Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t) è z=z(r,s,..,t) - cложная функция.
При этом формула [**] принимает вид:
z/r=z/x·x/r+x/y·y/r
z/s=z/x·x/s+ z/y·y/s [****]
5 Дифференцирование функций, заданных неявно.
Опр. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .
F(x,y,z)=0
x+y+z=ez - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.
x2+y2+z2=0 - не задает никакой функции.
Теорема: Если ф-я F(x,y,z) - непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по z Fz(x,y,z)¹0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:
z/x=- F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)
z/y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)
Док-во: Найдем полный дифференциал функции
dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz
F(x0,y0,z0)=0èdF=0è
F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0
dz=-(F/x)/(F/z)*dx-(F/y)/(F/z)*dy (*)
С другой стороны:
z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**)
Сравнивая (*) и(**) è
z/x=- F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)
z/y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)