17 Непрерывные случайные величины

Определение 2: Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого

,

где - интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины .

Теорема 1: Для того чтобы случайная величина была непрерывной случайной величиной, необходимо и достаточно, чтобы для любого

(1)

Замечание 1: Из представления (1) видно, что функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией.

Свойства плотности распределения:

1)

2) почти всюду.

3) для любых х, являющихся точками непрерывности плотности.

Теорема 2: Для того, чтобы функция p = p(x) была плотностью распределения некоторой случайной величины , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла свойствам 1) и 2) плотности.

Случайной непрерывной величиной является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Случайная непрерывная величина, принимать все свои значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной дискретной величины может быть конечным или бесконечным.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

Где f ( x ) дифференциальная функция. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если возможные значения принадлежат интервалу ( a , b ), то

Наиболее вероятное число появлений события

Формула Бернулли позволяет установить, какое число появлений события A в серии из n испытаний наиболее вер ятно.

Число m0 называется наиболее вероятным, если Pn (m0 ) Pn (m) при всех m, т.е. при некотором m0 Pn (m)достигает своего наибольшего значения.

Наиболее вероятное число m0 определяется из двойного неравенства

np − q m0 np + p, (1.20)

устанавливающего для m0 границы, которые отличаются на единицу.3

Если левое граничное значение np−q - дробное, то дробным будет и правое граничное значение. Тогда существует одно число m0 ; Если np − q - целое, то np − q + 1 тоже целое. В этом случае существует два наиболее вероятнейших числа m0 = np − q и m0 + 1 = np + p.

Действительно, левая граница np − q = np − (1 − p) = np + p − 1 отличается от правой на единицу.

18Числовые характеристики случайных величин.

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается Mx .

Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение

x1 x2 ... xn

p1 p2 ... pn

называется величина , если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей px (x) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f(x), то

.

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, .

Основные свойства математического ожидания:

математическое ожидание константы равно этой константе, Mc=c ;

математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M(ax + bh ) = a M(x )+ b M(h );

математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(x h ) = M(x )M(h ).