1.10 Распределение Максвелла

В газе, находящемся в равновесии при температуре T , скорость любой молекулы из-за столкновений непрерывно меняется как по абсолют­ной величине, так и по направлению. Распределение по направлениям движения в состоянии равновесия равновероятно. Если бы это было не так, то в каком-то направлении в газе двигалось бы боль­шее число молекул, чем в другом. В результате возник бы макроскопи­ческий поток газа и газ не находился бы в равновесии.

Иначе обстоит дело с абсолютными значениями скоростей молекул: они не будут равновероятны, т.е. функция плотности вероятности F(υ) принимает неодинаковые значения при различных скоростях молекул. При этом, наибольшее число молекул будет группироваться около некоторой средней скорости, к примеру, около средней квадратичной υ_кв , которая на основании формулы (1.8.7),

(1.10.1)

Очень большие, а также весьма малые скорости молекул, по сравнению со средней квадратичной, маловероятны. В самом деле, чтобы молекула могла приобрести при столкновениях очень большую скорость, ей необходимо испытать подряд много таких столкновений, при которых она в основном получает энергию, и почти ни одного столкновения, при котором она ее теряет. Но такие столкновения, очевидно, маловероятны. Поэтому значения функ­ции F(υ) при малых и больших скоростях должны быть малы.

Функция F(υ) в равновесном состоянии газа не должна зависеть от времени. В самом деле, если бы функция распределения зависела от времени, то средняя квадратичная скорость, определяемая по формуле,

,

также зависела бы от времени. Но это противоречит тому, что в состоянии равновесия (T = const), как видно из (1.10.1), υ_кв =сonst. Таким образом, из общих соображений, распределение молекул по скоростям должно иметь максимум около среднего квадратичного значения скорости и убывать до нуля от этого максимального значения в сторону больших скоростей молекул. Найдем, следуя Максвеллу, явный вид этой функции.

Спроектируем скорости всех N молекул газа на ось x. Вероятность того, что произвольно взятая молекула име­ет проекцию скорости, заключенную в интервале ( υ_x , υ_x+dυ_x)

, (1.10.2)

где - число молекул в газе, которые имеют проекцию скорости, заключенную в интервале ( υ_x , υ_x+dυ_x). С другой стороны эта вероятность может быть выражена через плотность вероятности φ (υ_{x_}) (см. формулу А.22 Приложения А)

(1.10.3)

Сравнивая выражения (1.10.2) и (1.10.3) , находим

(1.10.4)

Аналогичные соотношения могут быть записаны для проекций скоростей молекул на оси Y и Z.

Важно отметить, что функции имеют совершенно одинаковый вид из-за равновероятности всех направ­лений движения молекул и отличаются только обозначением аргумента.

Запишем, далее, вероятность того, что случайно "взятая" молекула имеет проекции скорости, заключенные в интервалах

(υ_x , υ_x+dυ_x), (υ_y , υ_y+dυ_y) и ( υ_z , υ_z+dυ_z) или, тоже самое, что эта молекула движется в направлении, близком к направлению, определяемом вектором . Пo определению вероятности, она равна

(1.10.5)

где - число молекул, компоненты скорости которых лежат в указанных выше интервалах. Если обозначить совместную плотность вероятности проекций скорости молекул через , то та же вероятность (1.10.5), может быть представлена в виде:

(1.10.6)