40. Модели с распределенными лагами.

Во многих экономических задачах встречаются лагированные (взятые в предыдущий момент времени) переменные. Например, y_t — выпуск предприятия за год t — может зависеть не только от ин­вестиций I_t в этот год, но и от инвестиций в предыдущие годы.

Эконометрическая модель, содержащая в качестве факторов не только текущие переменные, но и лаговые их значения, называется динамической.

Выделим два основных типа динамических эконометрических моделей:

модели с распределенным лагом;

модели авторегрессии.

Моделями с распределенным лагом называются модели, содержа­щие в качестве факторов лаговые значения факторных перемен­ных, например модель вида

Моделями авторегрессии называются модели, содержащие в ка­честве факторов лаговые значения зависимой переменной, на­пример модель вида

Обе модели включают в себя лаговые значения переменных, но существенно различаются с точки зрения статистического оценива­ния параметров.

Модели с распределенным лагом

Модель с распределенным лагом в предположении, что макси­мальная величина лага конечна, имеет вид

В этой модели влияние х на у сохраняется в течение времени р.

В краткосрочном (текущем) периоде влияние х на у отражается величиной β₀, называемой краткосрочным мультипликатором.

В долгосрочном периоде (через р моментов времени) суммарное влияние х на у отражается величиной β = βо + βi + ••• + β_p, называ­емой долгосрочным мультипликатором.

В моделях с распределенным лагом объясняющие переменные не коррелированы со случайным членом, поэтому модель мож­но оценивать с помощью обычного МНК. Однако на практике оцен­ка параметров модели затруднительна из-за высокой мультиколлинеарности факторов.

Для уменьшения числа объясняющих переменных и уменьшения эффекта мультиколлинеарности разработан ряд подходов, например модель геометрических лагов и модель полиномиальных лагов.

Модель геометрических лагов (Модель Койка)

Предположим, что в модели с бесконечным лагом коэффициен­ты при лаговых значениях объясняющих переменных убывают в гео­метрической прогрессии. Модель имеет вид

где (0;1).

В этой модели влияние х на у продолжается бесконечно.

В краткосрочном (текущем) периоде влияние х на у отражается коэффициентом β_о.

В долгосрочном периоде суммарное влияние х на у равно

Модель содержит только три параметра (α, β, δ) и является нелинейной.

Процедура оценивания нелинейной модели.

Преобразование Койка. Определяется выражение для периода t–1:

Умножив обе части уравнения на δ и вычтя их из исходного уравнения, получим:

где уже отсутствуют лаговые значения x. Отсюда

Альтернативный и более эффективный способ заключается в применении нелинейного метода наименьших квадратов.

Модель полиномиальных лагов (Метод Алмон)

В модели полиномиальных лагов предполагается, что зависи­мость коэффициентов при лаговых значениях объясняющей пере­менной от величины лага описывается полиномом m-й степени. Мо­дель имеет вид

где

m≤p.

Предположим, что величина лага р известна. Кроме того, необ­ходимо установить степень полинома т. Обычно на практике огра­ничиваются рассмотрением полиномов второй и третьей степени.