5. 1 Реализация метода Хука – Дживса

Рассмотрим работу программы при различных входных данных.

В качестве первой рассматриваемой функции выберем квадратичный полином , имеющий решение в точке .

Зададим начальные входные данные: начальную точку, шаги по координатным направлениям: - малое положительное число. Получим следующий результат (рис. 1).

Рисунок 1 – Работа программы, метод Хука – Дживса, эксперимент 1

Рисунок 2 – Значения функции, точек и координатных шагов на каждой итерации, эксперимент 1

Мы видим, что за девять итераций программа нашла нужное правильное решение. Приблизим начальную точку к искомому минимуму.

Рисунок 3– Работа программы, метод Хука – Дживса, эксперимент 2

Рисунок 4– Значения функции, точек и координатных шагов на каждой итерации, эксперимент 2

Мы можем наблюдать, что про приближении начальной точки к искомому решению, количество необходимых итераций уменьшается, решение находится быстрее.

Возьмем начальную точку из первого эксперимента - [20,15], и изменим шаги по координатным направлениям.

Рисунок 5– Работа программы, метод Хука – Дживса, эксперимент 3

Рисунок 6– Значения функции, точек и координатных шагов на каждой итерации, эксперимент 3

Мы можем наблюдать, что количество итераций, по сравнению с первым экспериментом увеличилось, из чего можно сделать вывод: при правильном выборе шагов по координатным напрвлениям, можно значительно уменьшить количество итераций, тем самым увеличив скорость получения конечного решения. Например, зададим значения шагов 1, 1:

Рисунок 7– Работа программы, метод Хука – Дживса, эксперимент 4

Рисунок 8– Значения функции, точек и координатных шагов на каждой итерации, эксперимент 4

Можем наблюдать, что программа нашла необходимое решение за 8 итераций.

Увеличим по сравнению с предыдущим экспериментом число .

Рисунок 9– Работа программы, метод Хука – Дживса, эксперимент 5

Рисунок 8– Значения функции, точек и координатных шагов на каждой итерации, эксперимент 5

При увеличении числа точность полученного решения увеличивается. Но в некоторых случаях, как например, в эксперименте 5, в этом нет необходимости, увеличения числа приведет лишь к неоправданному увеличению количества итераций.

Рассмотрим функцию . Зададим начальные значения, как в эксперименте 1 и получим решение:

Рисунок 9– Работа программы, метод Хука – Дживса, эксперимент 6

Рисунок 10– Значения функции, точек и координатных шагов на каждой итерации, эксперимент 6

Мы можем заметить, что количество итераций хоть и увеличилось по сравнению с первым экспериментом, но не на много, всего на одну итерацию, из этого мы можем сделать вывод, что данный метод хорошо применим к различным видам функции.

5. 2 Реализация метода Ньютона

Рассмотрим работу программы при различных входных данных.

В качестве первой рассматриваемой функции выберем квадратичный полином, имеющий решение в точке .

Зададим начальные входные данные: начальную точку, шаги по координатным направлениям: - малое положительное число. Получим следующий результат:

Рисунок 11– Работа программы, метод Ньютона, эксперимент 1

Рисунок 12– Значения функции и точек на каждой итерации, эксперимент 1

Увеличим расстояние между искомым минимумом и начальной точкой.

Рисунок 13– Работа программы, метод Ньютона, эксперимент 2

Рисунок 14– Значения функции и точек на каждой итерации, эксперимент 2

Мы можем наблюдать, что для квадратичного полинома, данный метод будет находить решение всего за одну итерацию, даже при отдалении начальной точки от искомого минимума.

Найдем решение для функции .

Рисунок 15– Работа программы, метод Ньютона, эксперимент 3

Рисунок 16– Значения функции и точек на каждой итерации, эксперимент 3

Мы можем наблюдать, что для полинома третьей степени количество итераций уже не равно одному, также при заданной точности, программа не смогла найти нужное решение.

Уменьшим число . Получим следующий результат:

Рисунок 17– Работа программы, метод Ньютона, эксперимент 4

Рисунок 18– Значения функции и точек на каждой итерации, эксперимент 4

Количество итераций заметно увеличилось, и увеличилась точность полученного решения, но также как и в предыдущем эксперименте, программа не смогла найти нужное решение. Уменьшим еще в несколько раз.

Рисунок 19– Работа программы, метод Ньютона, эксперимент 5

Рисунок 20– Значения функции и точек на каждой итерации, эксперимент 5

Можно сделать вывод, что даже при значительном увеличении точность получаемого решения данный метод для полиномов выше второй степени работает с неточностями.