- •Глава 1. Сферические функции
- •§1 Полиномы Лежандра
- •1.1. Производящая функция и полиномы Лежандра
- •1.2. Рекуррентные формулы
- •1.3. Уравнение Лежандра
- •1.4. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма
- •1.5. Норма полиномов Лежандра
- •Упражнения
- •§2 Присоединенные функции Лежандра
- •2.1. Присоединенные функции
- •2.2. Норма присоединенной функции
- •§3 Сферические функции
- •3.1. Сферические функции
- •3.2. Ортогональность системы сферических функций
- •Глава 2. Полиномы Чебышева- Эрмита и Чебышева- Лагерра
- •§1 Полиномы Чебышева- Эрмита
- •1.1. Дифференциальная формула
- •1.2. Рекуррентные формулы
- •1.3. Уравнение Чебышева- Эрмита
- •Упражнения
Глава 1. Сферические функции
Сферические функции были введены в связи с изучением решений уравнения Лапласа, и в частности с теорией потенциала. В §1 мы рассматриваем полиномы Лежандра, которые используются затем для построения шаровых и сферических функций в §2. Сферические функции являются весьма мощным аппаратом для решения многих задач математической физики.
§1 Полиномы Лежандра
1.1. Производящая функция и полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа , гдеR – расстояние от точки М до фиксированной точки М0. Пусть r и r0 – радиусы векторы точек М и М0, а - угол между ними. Очевидно можно записать
(1)
при
при
,
производящая функция полиномов Лежандра.
Разложим функцию в ряд по степеням:
(2)
,
Коэффициенты в разложение (2) являются полиномамиn-й степени и называются полиномами Лежандра.
В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что
(3)
от , (перейдем в комплексную плоскость). Используя интегральную формулу Коши и производную
(4)
Полагая , находим,,
, (5)
где С1- любой контур, окружающий точку x=z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n+1) порядка.
,
. (6)
Из формулы (6) непосредственно видно что:
Получили полином степени n;
Полином содержит степени x той же четности, что и номер n, так что
. (7)
Просмотрим граничные условия:
x=1,
,
,
Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)
.
,
. (8)
1.2. Рекуррентные формулы
Используя производящую функцию
,
и найдем частные производные по и по:
,
, (9)
, (9а)
Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда относительно , подставив в нее ряд (3) дляи ряд
.
. (10)
,
Возьмем производную по :
m-1=n 1-a m+1=n 2-a m=1 3-a m=0 4-ая m+1=n 5-ая
m=n+1 сумма m=n-1 сумма n=m сумма m=n сумма m=n-1 сумма
n=0,1,2 n=2,3,4, n=1,2 n=0 n=1,2
Запишем коэффициенты при0, 1,…, n.
, где n ≥2. (11)
Таким образом, выражение (11) представляет собой рекуррентное соотношение.
Домножим (9) на ,(10) на () и вычтем
, (12)
,
При любом m получаем m+1=n, n=1
, (13)
рекуррентная формула
, (14)
Продифференцируем по x соотношение (11):
, (15)
1.3. Уравнение Лежандра
Найдем дифференциальное уравнение, решением которого является . Для этого исключимPn-1 и Pn-1 из (14) и (15). Подставляем (14) в (15):
,
,
,
.
Продифференцируем:
.
. (16)
Соотношение (16) представляет собой уравнения Лежандра. Тем самым доказано что полиномы Лежандра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям , следующей задачи.
Найти такие значения λ, для которых на отрезке существуют нетривиальное решение уравнение Лежандра
, (17)
с областью с условием . Таким образом нетривиальное решение существует при
.