- •Обзор математической литературы
- •Глава 2. Логарифмическая и показательная функции. § 12. Логарифмические уравнения и системы логарифмических уравнений. Логарифмические неравенства 22
- •Общая характеристика темы
- •1.Мордкович а.Г., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб.Для общеобразоват. Учреждений. – 2-е изд. – м.: Мнемозина, 2001. – 335с.
- •2.Алгебра и начала анализа: учеб.Для 10-11 сред. Шк./ а.Н. Колмогоров, а.М. Абрамова, ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. – м.: Просвещение, 1990. – 320с.
- •3.Кочетков, Алгебра и элементарные функции: Учебное пособие для учащихся 10 класса средней школы. – 2-е изд. – м.: Просвещение, 1967.
- •4.Башмаков м.И., Алгебра и начала анализа: Учеб.Для 10-11 кл. Сред. Шк. – 2-е изд. – м.: Просвещение, 1992. – 351 с.
- •Обзор методической литературы
- •Глава V. Некоторые приемы полного решения трансцендентных уравнений. 1. Показательные и логарифмические уравнения, страница 126
- •Анализ теоретического и задачного материала
- •1. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства
- •2. Использование общих методов при решении логарифмических уравнений и неравенств
- •2.1. Разложение на множители. Метод интервалов
- •2.2. Введение нового неизвестного. Однородные уравнения
- •2.3 Использование свойств функций.
- •3. Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств.
- •4. Логарифмирование обеих частей уравнения (неравенства) по одному основанию.
- •5. Решение смешанных уравнений и неравенств.
- •Постановка учебных задач, диагностируемые цели
- •Диагностируемые цели
- •Тематическое планирование
- •Конспект урока Урок обобщения и систематизации Тема: «Логарифмические уравнения и неравенства»
- •1. Мотивационно – ориентировочный этап.
- •2.Операционно-познавательный этап.
- •1. Решите уравнение:
- •2) Решите уравнение: .
- •3) Решите уравнение:
- •4) Решите уравнение: .
- •6) Решить неравенство: .
- •3.Рефлексивно-оценочный этап.
- •Домашняя работа
Обзор методической литературы
1. Е. А. Анискина (учитель математики)/ Статья «Метод решения логарифмических и показательных неравенств с переменным основанием».
Статья взята из приложения к журналу «1 сентября» «Математика», раздел «Преподавание математики». Она раскрывает трудности, возникающие при решении заданий ЕГЭ части С, направлена помочь ученикам с данными трудностями; предлагает метод решения задач С3. Метод построен на правилах, которые необходимо доказать, начиная с простейших и заканчивая правилами решения сложных неравенств, причем параллельно рассматриваются два вида неравенств: показательные и логарифмические. Для наглядности весь теоретический материал записан в таблицу. Также содержит задания из ЕГЭ для самостоятельной работы учащихся.
2. «Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств», часть 1\ С. В. Кириллова, О. К. Огурцова, Н. А. Серова, Егорова;
«Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств», часть 2\ С. В. Кириллова, О. К. Огурцова
Методическое пособие, разработанное в помощь учителю математики. Даны виды логарифмических уравнений и неравенств. Разобраны примеры по каждому из предложенных видов.
3. Уравнения в школьном курсе Математике/ А. Н. Бекаревич. – Минск 1968, стр.152 с.
Глава V. Некоторые приемы полного решения трансцендентных уравнений. 1. Показательные и логарифмические уравнения, страница 126
В пособии рассмотрены наиболее важные вопросы методики преподавания уравнений в средней школе. Цель пособия состоит в том, чтобы обратить внимание учителя на наиболее сложные вопросы, связанные с изучением уравнений (в том числе и логарифмических) в школе, и помочь ему преодолеть встречающиеся трудности. В книге приводится специальная система упражнений, способствующая уяснению идеи равносильности, по-новому доказаны основные свойства уравнений. В пособии содержится также материал для внеклассной работы по математике.
Книга предназначена для учителей математики.
4. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики: учебно-метод. пособие. - 2-е изд., доп. и перераб./ Мордкович, А. Г. - М: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 000 «Издательство «Мир и образование», 2005.-336с.
Формулируются знания и умения ученика по теме, даются методические рекомендации учителю к каждому типу урока, а также приводится список литературы и полезных сайтов.
Анализ теоретического и задачного материала
1. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства относятся к трансцендентным. Напомним, что логарифмом положительного числа b по основанию а, где , называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получилось b: , где . Исходя из определения логарифма, можно заключить, что при решении логарифмических уравнений (неравенств) необходимо будет учитывать условия существования входящих в них логарифмических выражений и отражать их при нахождении области определения уравнения (неравенства), когда это необходимо. Выделим на конкретных примерах простейшие логарифмические уравнения (неравенства) и подходы к их решению.
А. Уравнение вида и соответствующие ему неравенства , , , , где .
(По определению логарифма)
, где |
, где |
, где |
Решение: |
||
Равносильно уравнению
|
Равносильно:
при . |
Равносильно:
при ; 2) неравенству при . |
Ключевые задачи.
№343(4).
Ответ:
№355(1)
Ответ: (-2, 25).
№355(4)
Ответ: ( ).
К данному блоку относятся: №343(1-4), №346(2), №378(1), №355, №356(1-3), №359(1,2), №360, №361, №362, №381, №383, 6(стр.112).
В. Уравнения вида и соответствующие ему неравенства , , , , где .
(По свойству логарифмической функции)
, где |
, где |
, где |
Решение: |
||
Равносильно системе которая в свою очередь равносильна одной из следующих систем
или
|
Равносильно:
при . |
Равносильно:
при ;
при . |
Ключевые задачи.
№340(1).
нет решений
Ответ: нет решений.
№359(4).
нет решений
Ответ: решений нет.
№359(3).
Ответ:
К данному блоку относятся: №340, №378(2), №359(3,4), №382, №395.
С. Уравнение вида и соответствующие ему неравенства , , , .
|
|
|
Решение: |
||
Равносильно системе |
Равносильно совокупности систем |
Равносильно совокупности систем
|
Уравнения данного вида в учебнике не представлены.
Пример.
Решите уравнение: .
Решение: Область определения данного уравнения задаётся системой неравенств: На указанной области определения данное уравнение равносильно уравнению , т.к. логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе
Но условие области определения можно опустить, т.к. оно будет автоматически учитываться в силу присутствия других условий системы. Тогда получаем:
Ответ: .
№365(3).
Ответ: , .
№365(4).
Ответ: ,
К данному блоку относятся: №365(3,4).
D. Уравнения вида и соответствующие ему неравенства , , , .
|
|
|
Решение: |
||
Равносильно системе которая в свою очередь равносильна одной из следующих систем
или
|
Равносильно совокупности систем
|
Равносильно совокупности систем
|
Уравнений и неравенств данного вида в учебнике нет.
Пример.
Решите уравнение: .
Решение: Область определения данного уравнения задаётся системой неравенств: На указанной области определения данное уравнение равносильно уравнению , т.к. логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе
Условие или области определения можно опустить, т.к. оно будет автоматически учитываться в силу равенства . Тогда получаем:
Ответ: .
Пример. Решите неравенство: .
Решение: Область определения данного неравенства задаётся системой неравенств: На указанной области определения данное неравенство равносильно неравенству , если , как основание логарифмической функции , которая монотонно возрастает на своей области определения, или неравенству , если , как основание логарифмической функции , которая монотонно убывает на своей области определения. Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности систем неравенств
Как мы видим, некоторые из условий области определения в соответствующей системе можно опустить, т.к. они будут автоматически учитываться в силу присутствия других неравенств системы. Решение первой системы: . Решение второй системы: .
Ответ: , .