- •1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:
- •2.Действия над матрицами.
- •3.Обратная матрица. Пример.
- •7.Линейные операции над векторами.
- •8.Скалярное произведение векторов. Свойства.
- •12.Смешанное произведение векторов.
- •13.Функция. Основные понятия.
- •14.Пределы числовой последовательности.
- •17.Бесконечно малые функции и их свойства.
- •18. Бесконечно-большие функции и их свойства.
- •19. Основные теоремы о пределах.
- •20. Первый замечательный предел.
- •21. Второй замечательный предел.
- •23.Точки разрыва.
- •26.Таблица производных.
- •27.Основные прав ила дифференцирования.
- •Производная обратной функции
- •29.Дифференциал функции и его основные свойства.
- •30. Теоремы о дифференцируемых функциях.
- •31.Правило Лопиталя.
- •Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .
- •35.Прямая на плоскости. Способы задания.
- •36. Плоскость. Способы задания.
- •38.Взаимное расположение прямых.
- •39.Эллипс и его характеристики.
- •40. Гипербола.
- •44.Таблица интегралов.
- •48.Интегрирование по частям.
- •50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:
- •Вычисление
- •58.Длина дуги.
40. Гипербола.
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между и ).
Точки и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов и обозначим через . По условию, .
Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:
|
(7.6) |
где ‑ координаты произвольной точки гиперболы, .
Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.
Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми и .
Так как в уравнение входят только четные степени и , то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем: .
График этой функции от точки уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:
|
(7.7) |
x
y
O
A(a,0)
Рис. 7.7
Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты .
Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны и параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).
Рис 7.8.
Г ипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки и пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы. Величины и называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.
Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси . На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями .
Рис. 7.9
Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами:
Для правой - ветви ,
Для левой - ветви .
Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .
42.Парабола. Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Для вывода канонического уравнения параболы ось проводят через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения оси с директрисой . Если обозначить через расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид .
В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:
|
(7.8) |
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси . Так как уравнение (7.8) содержит только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси , и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .
При неограниченном возрастании неограниченно растет и . Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии.
С
y
делаем рисунок п араболы (Рис. 7.10).
x
O
Рис.
7.10
Рис.7.10
Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.
42.Первообразная и неопределенный интеграл.Интегрирование – операция, обратная дифференцированию, которая позволяет определять функцию , для которой заданная функция является ее производной:
.
Другими словами, если операция дифференцирования состоит в нахождении производной, то интегрирование – это операция отыскания первообразной.
Функция называется первообразной для функции , на промежутке , если для каждой точки этого промежутка .
Теорема. Если и – любые две первообразные для данной функции на промежутке , то для всех выполняется равенство .
Доказательство:
.
43. Основные свойства неопределенного интеграла.1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:
Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.
Если и – интегрируемые функции, т.е. на промежутке они имеют первообразные, то сумма функций также интегрируема и .
Если – интегрируемая функция, а постоянная величина, то – также интегрируемая функция и .
Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:
,
где постоянные;
интегрируемые функции.
Если , а также дифференцируемая функция, то
Таким образом, все семейство первообразных для данной функции имеет вид , где одна из первообразных, а произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом функции .
Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:
,
где знак интеграла;
подынтегральная функция;
подынтегральное выражение.