23.Точки разрыва.

Непрерывность функции в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела и существуют и равны , т.е.

.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции . Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

1. и существуют;

2. и конечны;

3. ;

4. .

Если 1. не выполнено, то называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют точкой конечного скачка. Величина называется скачком функции в точке _.

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют точкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точки и не определена в самой точке , то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

24.Свойства непрерывных функций на отрезке.Функция , определенная на отрезке ( ) называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано–Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда, если то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку , где , , т.е. .

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция является ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

25.Производная. ЕЕ геометрический и физический смысл.Касательной графика функции проведенную через (·)М₀(x₀;y₀) назыв. предельное положение сек. при…….

Если рассматривать физические процессы,то производная характеризует скорость изменения тех или иных физических процессов.

26.Таблица производных.

;	;
;	;
	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

27.Основные прав ила дифференцирования.

1. Функция дифференцируема и ;

2. Если ‑ постоянная, то функция дифференцируема и ;

3. Из 1 и 2 следует, что ;

4. Функция дифференцируема и ;

5. Из 4 следует, что ;

6. Если определена и дифференцируема, то .

28.Производная сложной и обратной функции. Производная сложной функции. Пусть и . Тогда можно определить сложную функцию . Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и ее производная может быть вычислена по правилу цепочки:

.

Или более кратко .

Правило можно записать также в виде: .