- •10) Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.
- •11) Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
- •19. (Формула Коши-Адамара),
- •2 5. Определение двойного интеграла и его основные свойства.
- •Сведение двойного интеграла к повторному.
- •26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •27, Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
- •29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
- •30. О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •31. Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
- •32. О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •33. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
- •Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
- •Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
- •Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
- •36. Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
- •37. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
- •38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
- •40. Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
12) Интегрирование по частям и заменой переменных.
Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве и пусть – множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции существует множество первообразная функция . . Тогда всюду на множестве для функции существует первообразная функция, равная , т.е. . Для доказательства достаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции: и учесть, что по определению первообразной . Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл . В качестве новой переменной выберем что причем функция g(t) легко интегрируется, т.е.: просто вычисляется.
Интегрирование путем замены переменной
Замена:
Интегрирование по частям
Пусть каждая из функций и дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причем справедлива формула:
Замечание: Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать формулу в виде
Для доказательства утверждения запишем формулу для производной произведения 2-х функций и : . Умножим равенство на и возьмем интеграл от обеих частей равенства. Так как по условию для всех из множества существует и , то для всех множества существует интеграл , причем справедлива формула: . Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению . .
1) Определённый интеграл. Интегральная сумма. Верхние и нижние интегральные суммы. Их свойства. Геометрический смысл определённого интеграла.
Пусть на некотором промежутке задана функция .
Произведём разбиение отрезка точками . Внутри каждого отрезка возьмём произвольную точку .
- интегральная сумма.
Устремим . Максисум - мелкость разбиения (характеристика разбиения).
Фигура под кривой называется криволинейной трапецией.
- определение определенного интеграла (если предел существует).
Интегральные суммы и их свойства:
Нижняя интегральная сумма: , где
Верхняя интегральная сумма: , где
1) , при данном конкретном разбиении.
2) если разбиение получается из разбиения T добавлением одной точки разбиения, то нижняя интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя только уменьшиться, т.е.
Следствие: при добавлении к любому разбиению T любого дополнительного числа точек разбиения нижняя интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя - только увеличиться.
3) Для любых 2-х разбиений T' и T'', нижняя интегральная сумма любого разбиения не превосходит интегральную сумму другого разбиения .
Доказательство: по предыдущему свойству рассмотрим разбиение T, полученное из всех точек разбиения T' и T''. Тогда . Аналогично . И т.к. , то , что и требовалось доказать.
4) Все нижние интегральные суммы ограничены сверху, а все верхние интегральные суммы ограничены снизу. Как известно, множество чисел, ограниченных сверху имеют точную верхнюю грань аналогично и для ограниченных снизу - нижняя грань .
- верхняя грань для s.
- верхняя грань для S.
Геометрический смысл определенного интеграла - это площадь фигуры, ограниченной прямыми , осью и графиком функции .
5) Основные свойства определённого интеграла.
1) ;
2) ; (следует из определения интеграла как предела интегральных сумм).
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
6) Теорема о среднем для определённого интеграла.
Если -неотрицательная функция на промежутке и ограничена на нём, то Проинтегрируем:
; разделим все на
.
Следствие: если - непрерывна на отрезке , то она принимает все значения от до , в том числе и .
19) Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.
Критерии интегрируемости.
Необходимое условие: функция f должна быть ограниченной на отрезке [a,b].
Критерий Коши:
Для существования неопределенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы
Достаточный признак:
Для интегрирования f достаточно.
.
Доказательство:
В отрезке
Пусть , тогда
f интегрируемая функция, ч.т.д.
Следствие №1
Если функция f ограничена на [a, b] и имеем на нем конечное число точек разрыва, то функция fинтегрируема на [a, b].
Доказательство:
Пусть f имеет на [a, b] k-точек разрыва
Рассмотрим у каждой точки разрыва с радиусом и вычтем из отрезка
+
выберем , такое, что ;
; {берётся по отрезкам, которые не пересекаются с окрестностью точек разрыва}+ {все остальные}
< ч.т.д.
4) Теорема об интегрируемости непрерывной на отрезке функции.
Следствие №2
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство:
f - непрерывна на [a, b] она равномерно непрерывна
ч.т.д.
4) Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке функции.
Следствие №3
Если f(x) ограничена и монотонна на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство:
;
в силу монотонности функции все разности под знаком модуля в получившейся сумме имеют один знак
{т.к. и }= ч.т.д.
7) Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке [a, b]. Раз она интегрируема на [a, b], то она также интегрируема на [a, x] ∀x ∈ [a, b]. Тогда при каждом x ∈ [a, b] имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.
Таким образом, каждому x ∈ [a, b] поставлено в соответствие некоторое число ,
т.е. на [a, b] задана функция:
(3.1)
Определение. Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется
интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке [a, b]
интегрируемости функции f (x).
Теорема
Усл. f (t) непрерывна на [a, b], а функция F (x) задана формулой (3.1).
Утв. Функция F(x) дифференцируема на [a, b], причем F (x) = f (x).
(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)
Доказательство. Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность
Таким образом,
,
при этом точка ξ лежит на отрезке [x, x + ∆x] (или [x + ∆x, x] если ∆x < 0).
Теперь вспомним, что производная функции F(x) в заданной точке x ∈ [a, b] равна пределу разностного отношения: . Из равенства имеем:
,
Устремляя теперь ∆x → 0, в левой части данного равенства получим F’(x), a в правой
Вспомним определение непрерывности функции f (t) в точке x:
Пусть x1 в этом определении равен ξ. Поскольку ξ ∈ [x + ∆x, x] (ξ ∈ [x, x + ∆x]), а
∆x → 0, то |x − ξ| → 0, и по определению непрерывности, f (ξ) → f (x). Отсюда имеем:
F’(x) = f (x).
Следствие
Усл. f (x) непрерывна на [a, b].
Утв. Любая первообразная функции f (x) имеет вид
где C ∈ R – некоторая константа.
Доказательство. По теореме 3.1 функция является первообразной для f(x). Предположим, что G(x) – другая первообразная f (x). Тогда G’(x) = f(x) и для функции F(x) − G(x) имеем: (F (x) + G(x))’ = F’(x)−G’(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Значит, производная функции F (x)−G(x)
равна нулю, следовательно, эта функция есть постоянная: F(x) − G(x) = const.
Теорема 9.9.1. Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда интеграл с переменным верхним пределом интегрирования непрерывен на отрезке .
Доказательство. Так как функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на нем, т. е. существует число такое, что для всех . Пусть -- любая точка из и -- произвольное. Используя свойства интеграла, получим
Следовательно,
Итак, для заданного число таково, что для всех со свойством
т. е. функция непрерывна в точке .
Теорема 9.9.2. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в точке , то функция дифференцируема в точке и .
Доказательство. Ввиду непрерывности функции в точке для любого существует такое, что для всех выполняется . Тогда для любого выполняется
Итак,
что, по определению, означает дифференцируемость функции в точке .
8) Формула Ньютона – Лейбница.
Теорема
Усл. f(t) непрерывна на [a, b], а F(x) ее любая первообразная.
Утв.
Доказательство. Рассмотрим некоторую первообразную F (x) функции f (x). По Следствию 3.1 она имеет вид . Отсюда
=> c=F(a), и
.
Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:
Замечание 3.1. Доказанное равенство
называется формулой Ньютона – Лейбница.
9. Методы вычисления определенного интеграла
Теорема 9.10.1. Для непрерывно дифференцируемых на отрезке функций имеет место формула интегрирования по частям
Доказательство. Функция непрерывно дифференцируема на отрезке . По теореме 9.9.5 имеем
Но по правилу дифференцирования произведения
Следовательно, слагаемые непрерывны и по аддитивному свойству определенного интеграла получаем
Отсюда следует требуемое равенство.
Последнюю формулу удобно записывать в виде
Пример 9.10.1. Вычислим интеграл .
Теорема 9.10.2. Если функция непрерывно дифференцируема на отрезке , при лю- бом значения функции лежат на отрезке , и функция непрерывна на отрезке , тогда имеет место формула замены переменной :
Доказательство (см. рис. 9.10.1). По теореме 8.2.1 о замене переменной в неопределенном интеграле функции и имеют непрерывно дифференцируемые первообразные и , связанные между собой так: для всех . По теореме Ньютона - Лейбница имеем
Рис. 9.10.1
Пример 9.10.2
10) Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.
Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному и нтегралу:
Формула (41.1) получена путем применения метода сумм. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см. рис. 174).
Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное х [а; b] и будем считать, что S = S(x).
2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx (х + Δх є [а; b]). Функция S = S(x) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь м ожет быть найдена по формуле
Формулы (41.1)и (41.2) можно объединить в одну:
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х = φ(у) ≥ 0 (см. рис. 177), то ее площадь находится по ф ормуле
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически
прямыми х = а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле
где а и β определяются из равенств х(а) = а и х(β) =b.
Полярные координаты
Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ=а и φ=β (а < β), где r и φ — полярные координаты (см. рис. 180).
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т. е. S = S(φ), где а ≤φ≤β (если φ = а, то S(a) = 0, если φ=β, то S(β) = S).
2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади AS равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.
Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ→0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dφ. Поэтому
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = а до φ = β, получим искомую площадь
Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.
Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у' = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную
1. Точками х0 = а, х1..., хn = b (х0 < x1 < ...< хn) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пусть этим точкам соответствуют точки М0 = А, M1,...,Mn =В на кривой АВ. Проведем хорды М0M1, M1M2,..., Мn-1Мn, длины которых обозначим соответственно через ΔL1, AL2,..., ΔLn. Получим ломаную M0M1M2 ... Mn-ιMn, длина которой равна Ln=ΔL1 + ΔL2+...+ ΔLn =
2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL1 можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δxi и Δуi:
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δуi=ƒ'(сi)•Δхi, где ci є (xi-1;xi). Поэтому
а длина всей ломаной M0M1... Мn равна
3.Длина l кривой АВ, по определению, равна
.
Заметим, что при ΔLi→0 также и Δxi →0 ΔLi = и, следовательно, |Δxi|<ΔLi).
Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δxi→ 0:
Таким образом, или в сокращенной записи l =
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.
1. Через произвольную точку х є [a;b] проведем плоскость ∏, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 188). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Δх, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до В:
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х) 0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)=πy2.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции х=φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с,
у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен