- •10) Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.
- •11) Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
- •19. (Формула Коши-Адамара),
- •2 5. Определение двойного интеграла и его основные свойства.
- •Сведение двойного интеграла к повторному.
- •26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.
- •27, Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
- •28. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры: случаи цилиндрических и сферических координат.
- •29. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде. Элемент площади поверхности.
- •30. О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
- •31. Формула Грина. Условия того, что криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования.
- •32. О пределение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
- •33. Теорема Гаусса-Остроградского, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •34. Теорема Стокса, её запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.
- •35. Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах.
- •Поток векторного поля через поверхность. Определение дивергенции векторного поля и её свойства. Вычисление дивергенции в декартовых координатах.
- •Соленоидальные векторные поля, условия соленоидальности.
- •Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах.
- •36. Оператор Гамильтона (набла), дифференциальные операции второго порядка, связь между ними.
- •37. Основные понятия, относящиеся к оду первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши, её геометрический смысл.
- •38. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.
- •39. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнений Бернулли.
- •40. Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
30. О пределение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.
Кривая должна быть простой кривой, то есть .
Пусть кривая будет разбита точками разбиения. Составим интегральную сумму.
Полученный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.
На словах можно сказать так. Если существует предел интегральной суммы (см. выше) при стремлении к нулю наибольшей из длин Δlk (то есть ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается символом или .
Если кривая задана не параметрически, а, к примеру, так: , тогда .
Основные свойства:
Линейность:
Аддитивность (если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB):
Монотонность: если f<=g на L, то:
Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак:
Оценка модуля интеграла:
Вычисление. Пусть L – кривая, как на рисунке, заданная параметрически. Пусть функция f(x,y) определена и интегрируема вдоль кривой l как криволинейный интеграл первого рода. Тогда: .
Таким образом, для вычисления по длине дуги АВ надо, используя параметрическое уравнение кривой, выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить dl дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.
Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.
П усть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями . L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции , непрерывны на и различным значениям параметра t из сегмента соответствуют различные точки , . Если точка совпадает с точкой , а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел (длинa кривой L) длин ломаных, вписанных в кривую, при Δt → 0.
Пусть на кривой AB заданы две функции, P(x, y) и Q(x, y). Разобьем сегмент на n частей точками . Кривая АВ разобьется на n частей точками в направлении от A к B. Пусть – координаты точки , , , – длина дуги . На каждой дуге возьмем некоторую точку (координаты ) и составим две интегральные суммы: , . Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода . Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода.
Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой AB изменяется и знак интеграла . Аналогично вводится для пространственной кривой, заданной параметрически
Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные: Линейность . Аддитивность: . Монотонность: если f g, то .
Кривая L кусочно-гладкая, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
Если AB – кусочно-гладкая кривая, а функции Р=Р(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то справедливо равенство: = .
Если кривая AB задана уравнением y = у(x), a≤x≤b, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции P(x,y) и Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то имеет место равенство: = .
Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
Пусть AB− кусочно гладкая кривая, функции Р=P(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB и − единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x,y), причем направление соответствует направлению движения от А к В (α − угол между вектором в точке M(x, y) и осью Oх). . Для пространственной кривой справедлива аналогичная теорема: .
Из лекций:
Это и есть криволинейный интеграл второго рода.
– то же самое, только по y.
Каждый интеграл второго рода может быть сведён к первому роду.
или