- •Частные производные
- •Полное приращение и полный дифференциал
- •Частные производные высших порядков
- •Доказательство
- •5) Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •6) Производная сложной функции
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Неинвариантность дифференциалов высшего порядка
- •Дополнения
- •Решение
- •Описание метода
- •Обоснование
- •Двумерный случай
- •Двойной интеграл обозначается
- •4. Некоторые свойства двойного интеграла.
- •5. Вычисление двойного интеграла. Пусть область
- •15) Основные свойства двойного интеграла
- •17) Двойной интеграл в полярных координатах
- •19) Понятие о числовом ряде
- •Свойства сходящихся рядов
- •Доказательство
- •23) Признак Даламбера
- •Обобщенный гармонический ряд
- •Сумма ряда
- •30) Функциональные ряды
- •Степенные ряды
- •32. Интервал и радиус сходимости
- •33. Свойства степенных рядов
- •35. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •36. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов
Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.
Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .
Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:
где , а произвольные приращения независимых переменных . Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.
Неинвариантность дифференциалов высшего порядка
При , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .
Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и :
если — независимая переменная, то
если и
при этом, и
С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.
Дополнения
С помощью дифференциалов, функция при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
для функции с одной переменной:
, ;
для функции с несколькими переменными:
,
Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции является неопределённым, то в точке нет экстремума.
9) Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D.
Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек
то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом.
А если же для всех точек
то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом.
Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).
Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0.
В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:
Аналогично определяется и глобальный минимум:
Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.
Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).
Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0 D - точка локального экстремума.
Если в этой точке существуют z'x и z'y, то
Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу.
Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):
что и требовалось доказать.
Определение 1.12.
Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).
Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Если:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
Пример 1.13.
Исследовать на экстремум: