Вопрос 46. Алгебраическая пропедевтика
В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
Применение обобщений при изучении арифметического материала делает возможным и необходимым использование в начальном обучении Математике элементов алгебры, а также математической символики. В начальных классах учащиеся начинают использовать букву как математический символ, знакомятся с понятиями алгебраического выражения, равенства, неравенства, уравнения, получают первоначальное представление о решении задач с помощью составления "уравнений.
Введение элементов алгебры в начальное обучение математике имеет своей целью главным образом более полное и более глубокое раскрытие арифметических, понятий, доведение обобщений учащихся до более высокого уровня, а также создание предпосылок для успешного усвоения в дальнейшем курса алгебры.
Таким образом изучение элементов алгебры в начальном обучении математике тесно связывается с изучением арифметики. Это выражается, в частности, и в том, что, например, уравнения и неравенства решаются не на основе применения алгебраического аппарата, а на основе использования свойств арифметических действий, на основе взаимосвязи между компонентами и результатами этих действий.
И еще необходимо отметить, что формирование каждого из рассматриваемых алгебраических понятий не доводится до формальнологического определения.
§ 1. Буквенная символика в начальном обучении математике
Уже в 1 классе возникает необходимость введения символа, обозначающего неизвестное число. В учебной и методической литературе с этой целью для учащихся I класса предлагались самые разнообразные знаки: многоточие, "обведенная пустая клетка, звездочки, вопросительный знак и т. п. Но так как все эти знаки полагается использовать в другом назначении, то для записи неизвест-
ного числа следует использовать общепринятый для этих целей знак — букву. В дальнейшем буква как математический символ используется в начальном обучении математике также для записи обобщенных чисел, то есть когда имеются в виду не одно какое-либо целое неотрицательное число, а любое число. Такая необходимость возникает, когда надо выразить свойства арифметических действий, Буквы необходимы для обозначения величин и записи формул, отражающих зависимости между величинами.
В I классе учащиеся применяют букву лишь для одной цели — обозначение неизвестного искомого числа. Для этого здесь используется всего лишь одна буква — х (икс).
Учащимся показывается, как перевести на язык математических символов задание, выраженное словесно: «К неизвестному числу прибавили 2 и получили 6. Найти неизвестное число». Учитель объясняет, как записать эту задачу: обозначить неизвестное число букзой х, затем показать при помощи знака + , что к неизвестному числу прибавили 2 и получили число, равное 6, что и записать, используя знак равенства: х + 2 — 6. Теперь надо выполнять действие вычитания, чтобы по сумме двух слагаемых и одному из них найти другое слагаемое.
Основная работа с использованием буквы как математического символа выполняется во- II и в III классах.
В самом начале второго года обучения, в период повторения пройденного в первом классе, учащиеся знакомятся с написанием и чтением некоторых латинских букв, применяя их сразу для записи примеров с неизвестным числом (простейшие уравнения) и для обозначения точек, отрезков, вершин треугольника. Учитель обращает внимание учащихся на то, что для обозначения неизвестного числа можно употреблять не только букву х, как они делали в I классе, но и любую букву, например: а + 4 = 32,"И + 3 =10, 6 — т — 5 и т. п.
Во II классе и в последующих классах буквы используются для записи в обобщенном виде ранее изученных на конкретных числовых примерах свойств арифметических действий. Так, учащиеся второго классса в самом начале учебного года решают ряд примеров на сложение:
3+2 = 5 2+3 = 5 3+2=2 + 3
5+7= 12 7+ 5= 12 5+7=7+5
14 + 20 = 34 20 + 14 = 34 14 + 20 = 20 + 14
25+13 = 38 13 + 25 = 38 25+13=13 + 25
Учащиеся формулируют переместительное свойство сложения: при изменении порядка слагаемых сумма (ее значение) не изменяется. Это свойство можно записать, обозначив первое слагаемое буквой а, а второе слагаемое буквой Ь. Так, а + Ь = b + a.
В дальнейшем использование буквенной символики позволит достичь более высокого уровня обобщения также вновь изучаемых
244
245
свойств действий. Например, в учебнике для II класса предлагается вычислить значения выражений а • (Ь + с) и а ■ b + a • с при разных значениях букв а, Ь, с. Сравнив полученные результаты, учащиеся приходят к выводу, что а • (Ь + с) —а • Ъ + а • с (см. учебник).
В таких записях каждая буква может обозначать любое число из области изученных учащимися чисел (во II классе—сначала любое число в пределах 100, а затем — в пределах 1000). При этом под одной и той же буквой как в левой, так и в правой части равенства подразумевается одно и то же число.
При использовании букв для записи выражений суммы, разности, произведения и частного в общем виде важно раскрыть перед учащимися новый смысл буквы. Так, если раньше дети понимали под буквой только неизвестное число в равенствах вида х + б =27, то теперь в выражении буква может принимать множество значений (множество чисел).
Усвоению этого материала во втором классе способствует система упражнений на чтение и запись выражений, на вычисление значений выражений при заданных значениях букв. Например:
Запишите сумму чисел cud. Вычислите сумму чисел, с=32, d = 7; с = 14, d = 30; с =. 40, d = 40.
Запишите сумму чисел Ь и d. Подберите сами по % значения каждого из слагаемых и вычислите сумму.
Прочтите выражение 12 — с. Выпишите все значения, которые может принимать буква с.
12 —с
с = 0 12— 0= 12
с= 1 12— 1 = 11
с = 2 12— 2 = 10
с = 3 12— 3=9
с = 11 12— 11 = 1
с = 12 12— 12 = 0
Заполните таблицы, используя наиболее удобные способы вычислений.
а |
Ь |
с |
(а + Ь) . с |
(а + Ь) + е |
22 |
4 |
3 |
|
|
13 |
18 |
2 |
|
|
|
27 |
24 |
21 |
18 |
|
а*3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
3*к |
|
|
|
|
В III классе продолжается работа по вычислению значений выражений при больших значениях входящих в них букв. Например, заполните таблицы:
k |
3706 |
|
|
720010 |
с |
|
4793 |
35663 |
|
k-\-c |
5109 |
|
. 82407 |
|
k — c |
|
6357 |
|
236045 |
Найдите из таблицы значения k : |
|
|
|
|
|||
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
(k + 50) . 3 |
150 |
180 |
600 |
960 |
1200 |
|
В третьем классе также решаются задачи с буквенными данными. Например: 1) «В колхозе две пасеки. С одной из них рассчитывали получить а кг меду, а с другой b кг. С первой получили столько, сколько ожидали, а со второй на с кг меньше, чем ожидали. Сколько килограммов меда получили с двух пасек?»
2) Решите задачу при а = 1 250, b — 970, с = 80.
Аналогичные упражнения можно найти в учебнике математики для III класса.
Работа по вычислению значений буквенных выражений при различных значениях букв, наблюдению за изменением результатов вычислений в зависимости от изменения компонентов действий закладывает основы для формирования понятия о переменной начиная со второго класса.
С еще одним употреблением букв учащиеся знакомятся при обобщении ряда числовых неравенств. Пусть учащиеся записали ряд неравенств:
0 <3
1 <3
2 <3
Эти три неравенства можно записать в виде одного неравенства, обозначив числа, стоящие в левых частях неравенств, буквой, например, так: с < 3. • В этом неравенстве буква обозначает не одно число и не любые числа, а некоторые числа, а именно: числа 0, 1 и 2, каждое из которых меньше трех.