- •1. Определение первообразной, теорема о множестве первообразных. Неопределенный интеграл. Основные свойства (линейность, интеграл от производной функции).
- •2. Неопределенный интеграл. Замена переменной в интеграле. Интегрирование по частям.
- •3. Общая схема интегрирования рациональных функций.
- •9. Определенный интеграл: определение, свойства линейности
- •10. Определенный интеграл: определение, теорема о среднем, ее геометрический смысл.
- •11. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и полярных координатах с помощью определенного интеграла.
- •13.Определение длины кривой. Вычисление длины кусочно-гладкой кривой.
- •18. Несобственные интегралы: признаки сравнения.
- •19. 0Пределение двойного интеграла, его геометрический и механический смысл. Свойства линейности и аддитивности; сведение двойного интеграла к повторному.
- •20. Двойной интеграл: интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема о среднем.
- •21. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •22. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.
- •23. Определение тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному.
- •24.Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
- •25.Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его геометрический и механический смысл, вычисление.
- •26. Определение и основные свойства криволинейного интеграла по координатам, вычисление.
- •27. Работа силового поля. Физический смысл интеграла по координатам.
- •28.Теорема Грина.
- •29. Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от выбора пути интегрирования (на плоскости).
- •30. Вычисление площади гладкой поверхности.
- •31 .Определение интеграла первого рода по поверхности. Формулы для его вычисления.
- •32.Производная по направлению и градиент скалярного поля. Геометрический смысл градиента, его свойства.
- •33. Определение и свойства интегралов второго рода по поверхности, вычисление.
- •34. Поток векторного поля, дивергенция. Теорема Гаусса-Острогр.
- •36. Циркуляция векторного поля, ротор. Теорема Стокса. Формула Грина как частный случай теоремы Стокса.
22. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.
Геометрическое приложение: 1) площадь в декартовых координатах: .
2) в декартовых прямоугольных: , где J =
3) в полярных координатах: , где J = .
4) если гладкая поверхность имеет уравнение: z = f(x, y ) , то площадь: .
5) объем цилиндра, сверху ограниченного непрерывной поверхностью z = f(x, y ), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью , вырезающей на плоскости Оху область G, выражается интегралом:
Физическое приложение: Если пластинка занимает область G плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность γ = γ(х, у ), то масса М пластинки и ее статические моменты Мх и Му относительно осей Ох и Оу выражаются двойными интегралами:
1)
2) 3)
4) 5)
6) 7)
23. Определение тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному.
Тройным интегралом от непрерывной функции f (x, у, z) по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров dk элементарных областей ΔUk, если этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т на элементарные подобласти ΔUk, ни от выбора промежуточных точек.
. Тройной интеграл численно равен объему. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов. Если, например, область интегрирования Т ограничена снизу поверхностью z = φ1(x, у), сверху поверхностью
z =φ2(x, у), и с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости Оху, является область G, то тройной интеграл вычисляется по формуле:
24.Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах: X = ρcosφ, Y = ρsinφ, Z = Z,
ρ изменяется от нуля до бесконечности, φ изменяется от нуля до 2π, Z изменяется от +∞ до -∞. Также появляется Якобиан: |J| = = ρ, тогда тройной интеграл имеет вид:
Тройной интеграл в сферических координатах: сферическими координатами точки М называются координаты ( R, Θ, φ ), где R—расстояние от точки до плоскости, Θ—угол радиуса ОМ с положительными направлениями оси OZ, φ—полярный угол плоскости ХОУ. φ изменяется от нуля до 2π, Θ изменяется от нуля до π, R изменяется от нуля до бесконечности, тогда: X = R sin Θ cosφ, Y = R sin Θ sinφ, Z = R cos Θ. А Якобиан имеет вид: =R2sinΘ. Иногда координаты вводятся другим способом, тогда Якобиан будет другой. А сам тройной интеграл имеет вид:
25.Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его геометрический и механический смысл, вычисление.
Пусть L—кривая, кусочно-гладкая и измеримая. Задана f(p)—она задает прямую. Введем Т—разбиение. 1) АВ(дугу) разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 5) составляем интегральную сумму, 6) устремляем d(T)0 и получаем: Lim ∑ f(pi) L(Δi) = ∫ f(pi) dL—это и есть криволинейный интеграл по длине дуги. Геометрический смысл: вычисление дуги с помощью разбиения на отрезки. Механический смысл: значение этого интеграла равно массе дуги АВ. Вычисление: пусть L—кривая задана параметрически, то есть
R(t) = X(t)i + Y(t)j + Z(t)k , t изменяется от t1 до t2 . Соответственно: А = R(t1), B = R(t2), следовательно dL = dt, тогда