- •1. Определение первообразной, теорема о множестве первообразных. Неопределенный интеграл. Основные свойства (линейность, интеграл от производной функции).
- •2. Неопределенный интеграл. Замена переменной в интеграле. Интегрирование по частям.
- •3. Общая схема интегрирования рациональных функций.
- •9. Определенный интеграл: определение, свойства линейности
- •10. Определенный интеграл: определение, теорема о среднем, ее геометрический смысл.
- •11. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и полярных координатах с помощью определенного интеграла.
- •13.Определение длины кривой. Вычисление длины кусочно-гладкой кривой.
- •18. Несобственные интегралы: признаки сравнения.
- •19. 0Пределение двойного интеграла, его геометрический и механический смысл. Свойства линейности и аддитивности; сведение двойного интеграла к повторному.
- •20. Двойной интеграл: интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема о среднем.
- •21. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •22. Геометрические и механические приложения двойного интеграла.
- •23. Определение тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному.
- •24.Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
- •25.Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его геометрический и механический смысл, вычисление.
- •26. Определение и основные свойства криволинейного интеграла по координатам, вычисление.
- •27. Работа силового поля. Физический смысл интеграла по координатам.
- •28.Теорема Грина.
- •29. Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от выбора пути интегрирования (на плоскости).
- •30. Вычисление площади гладкой поверхности.
- •31 .Определение интеграла первого рода по поверхности. Формулы для его вычисления.
- •32.Производная по направлению и градиент скалярного поля. Геометрический смысл градиента, его свойства.
- •33. Определение и свойства интегралов второго рода по поверхности, вычисление.
- •34. Поток векторного поля, дивергенция. Теорема Гаусса-Острогр.
- •36. Циркуляция векторного поля, ротор. Теорема Стокса. Формула Грина как частный случай теоремы Стокса.
26. Определение и основные свойства криволинейного интеграла по координатам, вычисление.
Пусть L—кривая, кусочно-гладкая и измеримая. Задана f(p)—она задает прямую. Введем Т—разбиение. 1) АВ(дугу) или L разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)0 и получаем: Lim ∑ f(pi) L(Δi) = ∫ f(pi) dL—это и есть криволинейный интеграл по координатам вдоль кривой L от скалярного произведения f(p)dL. В координатном виде: ∫fdL = ∫ P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz. Криволинейный интеграл по координатам меняет знак при изменении направления движения по кривой.
Свойства: 1) 2)
3) 4)
Вычисление: 1) если пространственная кривая задана параметрически, то
dx = x/t dt, dy = y/t dt, dz = z/t dt, тогда
∫f(p)dL = [ P(x(t), y(t), z(t))x/t + Q(x(t), y(t), z(t))y/t + R(x(t), y(t), z(t))z/t ] dt
2) если y = y(x), x принадлежит [a, b], то интеграл можно посчитать:
27. Работа силового поля. Физический смысл интеграла по координатам.
Физический смысл интеграла по координатам—работа силового поля при перемещении в нем материальной точки по кривой АВ из точки А в точку В.
28.Теорема Грина.
( Работает, если площадь замкнутая, наче—нет!!!) Если в области Д плоскости ХОУ определены функции P(x,y) и Q(x,y) и они непрерывны вместе со своими частными производными, тогда: , где контур Д проходится против часовой стрелки. Замечание: эта формула остается справедлива для области Д самого общего типа.
29. Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от выбора пути интегрирования (на плоскости).
Теорема 1: Криволинейный интеграл не зависит от формы пути из А в В, тогда и только тогда, когда интеграл по любому замкнутому контуру L лежащему в Д и содержащему точки А и В равен нулю. Теорема 2: Если P(x,y) и Q(x,y) непрерывны со своими частными производными в односвязной области Д с ХОУ, а точки А и В принадлежат Д, то криволинейный интеграл не зависит от формы пути тогда и только тогда, когда dQ / dX = dP / dY.
30. Вычисление площади гладкой поверхности.
Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром находится по формуле:
31 .Определение интеграла первого рода по поверхности. Формулы для его вычисления.
Рассмотрим гладкую поверхность γ ( в любой точке существует касательная плоскость непрерывно меняющаяся от точки к точки ). На этой поверхности введена непрерывная функция f(p). Тогда введем понятие интеграла по поверхности.
1) γ разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)0 и получаем:
Lim ∑ f(pi) S(Δi) = f(pi) dγ —это и есть поверхностный интеграл от f(p) по поверхности γ. Он так же называется поверхностным интегралом первого рода.
Замечание 1: данное утверждение верно если 1) предел существует, 2) этот предел не зависит от Т-разбиения. Замечание 2: этот интеграл обладает всеми свойствами определенного интеграла ( линейностью, аддитивностью) , для него верна теорема о среднем. Вычисление: рассмотрим случай, когда поверхность однозначно проектируется на какую-либо координатную плоскость. Пусть Z = Z(x,y) , она проектируется на ХОУ, гладкость γ означает, что Z = Z(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда элемент dγ проектируется в элемент поверхности dS. Пусть γ –угол между нормалью к dγ и осью Z. Тогда:
, тогда , а сам интеграл будет иметь вид: