- •16.Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.
- •17.Непрерывные Случайные величины. Плотность вероятности. Свойства плотности вероятности.
- •(Условие нормировки),
- •18.Числовые характеристики непрерывных Случайных величин
17.Непрерывные Случайные величины. Плотность вероятности. Свойства плотности вероятности.
Основные определения и формулы
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые возможные значения на открытом, полуоткрытом или закрытом интервале числовой оси. Более строго: случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при любых равенству
Здесь функция распределения случайной величины , т.е.
Функция называется плотностью (распределения) вероятности или дифференциальной функцией распределения. Функция называется также интегральной функцией распределения.
Свойства 1–4 функции распределения (см. раздел 1) сохраняются. Свойства функции :
(Условие нормировки),
Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка ; квантиль порядка 0,5 называется медианой.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется
.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется
.
Нетрудно убедиться, что указанные в разделе 1 свойства математического ожидания и дисперсии сохраняются и для непрерывной случайной величины.
Как и ранее, среднее квадратическое отклонение , и вероятность попадания случайной величины в интервал
Пример 2.2.1. Случайная величина задана своей плотностью распределения вероятности
Найти константу
Решение.
Константу найдем из условия нормировки
Найдем :
Контроль:
Вычислим :
Вычислим вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 2):
Плотность вероятности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.
Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .
Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) ( ), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:
Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что
,
где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.
Определение 2. В более общем виде, пусть — произвольное измеримое пространство, а и — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде
то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают
.
Свойства плотности вероятности
Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .
Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.
Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.
Замена меры в интеграле Лебега:
,
где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .