18.Числовые характеристики непрерывных Случайных величин

Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства

В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,

где  .

Очевидно, математическое ожидание случайной величины   не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.

Математическое ожидание   случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины  .

Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания можно сформулировать в виде теорем. Доказательства этих теорем будут приведены для дискретных случайных величин, однако, соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин.

Прежде, чем формулировать свойства математического ожидания необходимо выяснить смысл и дать определение арифметических операций  ,  ,   и т.п., где   и   – дискретные случайные величины.

Например, под суммой   понимается случайная величина  , значениями которой являются все допустимые суммы  , где   и   – все возможные значения соответственно случайных величин   и  ; причем соответствующие вероятности равны:

.

Если какая-нибудь комбинация   невозможна, то условно полагают  ; это не отразится на математическом ожидании суммы. Аналогично определяются и остальные операции.