- •Лекція 4
- •4.1. Теплоємність. Означення
- •4.1.1. Методи обчислення кількости тепла
- •1) Внутрішньої енергії
- •2) Ентальпії
- •3) Ентропії
- •4.1.2. Загальне означення теплоємности. Істинна і питома теплоємности
- •4.1.3. Обчислення кількости тепла за істинною і середньою теплоємностями
- •1 − Лінійна залежність; 2− нелінійна залежність
- •4.1.4. Геометричні образи істинної і середньої теплоємностей
- •4.2. Ізобарна та ізохорна теплоємности. Рівняння Майєра
- •4.2.1. Геометричні образи ізохорної та ізобарної теплоємностей
- •4.2.2. Зв’язок ізобарної та ізохорної теплоємностей
- •4.2.2.1. Рівняння Майєра для ідеального ґазу
- •1. Ізохорна та ізобарна теплоємности
- •2. Зв’язок між ізобарною та ізохорною теплоємностями
- •6. Рівняння Лежандра. Термодинамічна та ефективна робота
- •4.2.2.2. Рівняння Майєра для неідеального ґазу
- •4. Для неідеального ґазу, що підпорядковується рівнянню Ван-дер-Ваальса : (4.123)
- •5.3. Зв’язок теплоємности з коефіцієнтом стискуваности ґазу
- •4 .4. Теплоємність під час оборотнього політропного процесу ідеального ґазу
- •4.5. Диференціяльні рівняння теплоємности Виходячи з другого начала термодинаміки та визначення теплоємности
- •4.6. Залежність ізобарної та ізохорної теплоємностей від тиску та об’єму
- •4.7. Зв’язок теплоємности з ентропією. Диференціяльні рівняння ентропії
- •4.8. Залежність теплоємности ґазів від температури
- •4.8.1. Залежність ізобарної та ізохорної теплоємностей ґазів від температури
- •4.8.2. Залежність теплоємности від атомности ґазів і температури
- •4.9. Теплоємність рідин
- •4.10. Теплоємність твердих тіл
- •4.10.1. Молекулярно-кінетична теорія. Закон Дюлонґа і Пті
- •5.10.2. Квантова теорія Дебая
- •4 .10.3. Теплоємність шарових структур
- •4.10.3.1. Структура невзаємодіючих шарів
- •4.10.3.2. Структура із взаємодіючими шарами
4.1.3. Обчислення кількости тепла за істинною і середньою теплоємностями
Означення істинної теплоємности використовується для обчислення кількости тепла. З (4.9) випливає, що
δqx = сxdT. (4.15)
Для кінцевого процесу х сумарна кількість тепла дорівнює:
qx,1→2 = , (4.16)
де t – температура за шкалою Цельсія.
Якщо сх не залежить від температури (рис.4.2), то площа F(t1,1,2,t2) чисельно дорівнює кількости тепла процесу х:
qx,1→2 = сх (t2 – t1). (4.17)
Що є, безумовно, ідеалізацією. В цьому випадку поняття істинної і середньої теплоємности співпадають.
C
С1 = С2 1 2
F
t1 t2 t
Рис.4.2. Залежність теплоємности від температури при c (t) = const
Якщо cх залежить від температури (рис.5.3), то площа F(t1,1,2,t2) чисельно дорівнює кількости тепла процесу х:
qx,1→2= .
І для того, щоб обчислити цей інтеграл, необхідно мати аналітичний вираз сх = f (t).
Результати експерименту по визначенню теплоємности апроксимують многочленом k-го порядку:
cх=b0+b1t + b11t2 + b111t3 + …. + b1…1 tk, (4.18)
або cх=b0+b1t + b11 t-2 + b111 t-3 + …+ b1…1 t – k, (4.19)
де cх = b0 ,b1 , b11 .... – емпіричні коефіцієнти, які мають певні значення для даного інтервалу температур.
Часто достатньо наближення другого порядку:
cх=b0+ b1t + b11t2 ; (4.20)
cх=b0+b1t + b11t -2, (4.21)
або іноді і першого порядку:
cх=b0+b1t. (4.22)
Для (4.22) b0 і b1 можна визначити графічно (рис.4.3) .
с
с2
1
2
b
a
с1
t1 t2 t
Рис.4.3. Залежність теплоємности від температури при с = var ≠ const:
1 − Лінійна залежність; 2− нелінійна залежність
Кількість тепла, що витрачається на нагрів n молей речовини від t1 до t2, визначається співвідношеннями:
з (4.20)
;(4.23)
з (4.21)
Qx,1→2 ;
з (4.22) Qx,1→2= . (4.24)
Але часто аналітичний вигляд функції сх = f(t) невідомий, тоді для обчислення кількости тепла користуються означенням середньої теплоємности, яка визначена для кінцевого інтервалу температур (рис. 4.3):
сmx . (4.25)
Вираз (4.25) характеризує в загальному вигляді зв’язок між середньою та істинною теплоємностями. Тоді,
qx, 1→2 = сm x . (4.26)
Зауважимо, що питомі теплоємности (масова, об’ємна, мольна) визначені як для істинної, так і середньої теплоємностей.
Експериментально знайдені (або теоретично розраховані) величини середніх теплоємностей можуть бути зведені в таблиці (табульовані), але при цьому необхідний перебір всіх сполучень температур. Тому, при табулюванні необхідно задатися початковою (реперною) точкою, наприклад t0 = 0˚C.
Знайдемо співвідношення істинної і середньої теплоємностей за допомогою рівнянь (4.16), (4.25), (4.26):
(4.27)
Таким чином, рівняння (4.27) дозволяє за табличними даними розрахувати значення середньої теплоємности для будь-якого інтервалу температур. Тоді, з (4.26) витікає розрахунок тепла за допомогою середньої теплоємности:
qx, 1→2= Cmx (4.28)
якщо р=const qp, 1→2=C mp (4.29)
якщо v=const qv, 1→2=C mv (4.30)
Якщо реперна (характеристична) температура t0 =298К (точно 298,15К), то сm x ;
qx, 1→2=Cmx
Якщо реперна температура є потрійна точка а (для води ta = 0,01˚C), то
;
.
Для визначення істинної теплоємности за середньою необхідно продиференціювати за температурою:
Сх= . (4.31)
За емпіричними даними середню теплоємність розраховують за формулою:
Cmp
а) за інтерполяційним рівнянням Сp = b0 + b1t + b11t2 + b111t3
dt=
;
б) за інтерполяційним рівнянням Сх = b0 + b1t + b11t-2
Cmx ;
в) за інтерполяційним рівнянням Сх = b0 + b1t + b11t2
Cmx ;
г) за інтерполяційним рівнянням Сх = b0 + b1t
Cmx .
q
4
3
2
1 q2
q1
Δt1 Δt2 t
Рис.4.4. Залежність кількости тепла від температурної ділянки та
інтервалів температурного визначення процесу
Але обчислення кількости тепла з використанням середньої теплоємности має недоліки, так як кількість тепла і середня теплоємність залежать від інтервалу температур Δt та певної температурної ділянки визначення процесу (рис.4.4): а) якщо Δt1 = Δt2, то qx, 1→2 < qx, 3→4;
б) якщоΔt1 < Δt2, то qx, 1→2 > qx, 3→4 .