- •Лекція 4
- •4.1. Теплоємність. Означення
- •4.1.1. Методи обчислення кількости тепла
- •1) Внутрішньої енергії
- •2) Ентальпії
- •3) Ентропії
- •4.1.2. Загальне означення теплоємности. Істинна і питома теплоємности
- •4.1.3. Обчислення кількости тепла за істинною і середньою теплоємностями
- •1 − Лінійна залежність; 2− нелінійна залежність
- •4.1.4. Геометричні образи істинної і середньої теплоємностей
- •4.2. Ізобарна та ізохорна теплоємности. Рівняння Майєра
- •4.2.1. Геометричні образи ізохорної та ізобарної теплоємностей
- •4.2.2. Зв’язок ізобарної та ізохорної теплоємностей
- •4.2.2.1. Рівняння Майєра для ідеального ґазу
- •1. Ізохорна та ізобарна теплоємности
- •2. Зв’язок між ізобарною та ізохорною теплоємностями
- •6. Рівняння Лежандра. Термодинамічна та ефективна робота
- •4.2.2.2. Рівняння Майєра для неідеального ґазу
- •4. Для неідеального ґазу, що підпорядковується рівнянню Ван-дер-Ваальса : (4.123)
- •5.3. Зв’язок теплоємности з коефіцієнтом стискуваности ґазу
- •4 .4. Теплоємність під час оборотнього політропного процесу ідеального ґазу
- •4.5. Диференціяльні рівняння теплоємности Виходячи з другого начала термодинаміки та визначення теплоємности
- •4.6. Залежність ізобарної та ізохорної теплоємностей від тиску та об’єму
- •4.7. Зв’язок теплоємности з ентропією. Диференціяльні рівняння ентропії
- •4.8. Залежність теплоємности ґазів від температури
- •4.8.1. Залежність ізобарної та ізохорної теплоємностей ґазів від температури
- •4.8.2. Залежність теплоємности від атомности ґазів і температури
- •4.9. Теплоємність рідин
- •4.10. Теплоємність твердих тіл
- •4.10.1. Молекулярно-кінетична теорія. Закон Дюлонґа і Пті
- •5.10.2. Квантова теорія Дебая
- •4 .10.3. Теплоємність шарових структур
- •4.10.3.1. Структура невзаємодіючих шарів
- •4.10.3.2. Структура із взаємодіючими шарами
6. Рівняння Лежандра. Термодинамічна та ефективна робота
Виходячи із рівнянь першого начала термодинаміки:
Q = dU + pdV; (4.70)
Q = dH – Vdp , (4.71)
для адіабатного процесу Q = 0 запишемо:
dU = – pdV; (4.72)
dH = Vdp . (4.73)
Так як ; , (4.74)
то . (4.75)
З рівняння (4.75) отримаємо рівняння
к рdV + Vdp = 0. (4.76)
Відомо, що
d (pV) = pdV + Vdp. (4.77)
З (4.77) витікає
Vdp = d(pV) – pdV. (4.78)
Внесемо (4.78) в (4.76), отримаємо:
к рdV + d (pV) – pdV = 0; (4.79)
d (pV) + pdV(к–1) = 0; (4.80)
. (4.81)
Термодинамічна робота в кінцевому процесі:
(4.82)
Рівняння (4.77) запишемо так:
рdV = d (pV) – Vdp. (4.83)
Внесемо (4.83) в (4.76):
(4.84)
(4.85)
.
Робота переміщення (ефективна робота) в кінцевому процесі:
(4.86)
Ці та інші співвідношення між термічними параметрами стану в адіабатичному процесі справедливі для ідеального ґазу і сталій теплоємності С(Т)=const. При цьому приймається, що показник адіабати k не залежить від температури.
Якщо теплоємности Ср і Сv (тоді і показник адіабати) залежать від температури, то наведені співвідношення вимагають уточнення.
Нехай відомі залежности істинної теплоємности ґазу від температури:
СV = b0V + b1T; (4.87)
CP = b0P + b1T. (4.88)
І нехай при цьому
- коефіцієнт, який залежить від температури; (4.89)
– коефіцієнт адіабати; (4.90)
R = b0P – b0V = b0V (к-1). (4.91)
Звідки
. (4.92)
У рівняння адіабати (4.59) підставимо вираз (4.92), отримаємо:
; (4.93)
(4.94)
Після інтегрування отримаємо вираз:
; (4.95)
; (4.96)
; (4.97)
. (4.98)
Звідки
. (4.99)
Так як , то з рівняння (4.98) отримаємо
. (4.100)
4.2.2.2. Рівняння Майєра для неідеального ґазу
Для неідеального ґазу
u = f (T,v); (4.101)
h = (T,p); (4.102)
C = (x,T,N,p,v, властивостей ґазу). (4.103)
Для даного процесу х і даного ґазу (N):
(V або р), (4.104)
де ск – кінетична частина теплоємности, яка пов’язана зі зміною температури (частина теплоємности, що відноситься до ідеального ґазу);
сn – потенціальна частина теплоємности, яка пов’язана зі зміною об’єму або тиску.
1. Повний диференціял внутрішньої енергії:
. (4.105)
Перша форма запису першого начала термодинаміки:
δqx = du + pdv = . (4.106)
Теплоємність в процесі:
. (4.107)
При v=const рівняння (4.107) набуде вигляду:
. (4.108)
При р=const рівняння (4.107) набуде вигляду:
. (4.109)
Виходячи з того, що
, а при р = const , (4.110)
вираз (4.109) набуде вигляду рівняння Майєра для неідеального ґазу:
(4.111)
де останній член є потенціяльна частина внутрішньої енергії неідеального ґазу. Фактично отримано нерівність Майєра для неідеального ґазу:
(4.112)
2. Повний диференціял ентальпії:
dh = . (4.113)
Цікаво, що з другої форми запису першого начала термодинаміки:
δq = dh – vdp , (4.114)
витікає
δqх = . (4.115)
Теплоємність в термодинамічному процесі:
Сх = . (4.116)
При р=const рівняння (4.116) набуває вигляду:
Ср = . (4.117)
При v=const рівняння (4.116) набуває вигляду:
СV = . (4.118)
Виходячи з того, що
, (4.119)
вираз (4.118) набуде вигляду
СV = Cp + . (4.120)
3. Якщо р=const , m=1кг, dT=1K, то рівняння (4.111) еквівалентне:
, (4.121)
де δL – термодинамічна робота, яка пов’язана зі зміною об’єму;
– робота, пов’язана з подоланням опору необоротніх процесів – внутрішнього і зовнішнього тертя, завихрювання, дифузії, розпаду асоціятів, розриву міжмолекулярних зв’язків, фазових перетворень, хемічних реакцій тощо.
Те ж саме для V=const, m=1кг, dT=1K:
(4.122)
Порівняння рівнянь (4.121) і (4.122) приводить до висновків, що для неідеальних ґазів , то і .