- •Оглавление
- •Введение
- •1. Модельные задачи, приводящие к уравнениям с частными производными первого порядка
- •1.1. Модельная задача о сбросе токсичного вещества в реку
- •1.2. Модельная задача о химической реакции, протекающей в потоке в режиме идеального вытеснения
- •1.3. Модельная задача о процессе изотермической сорбции газа
- •1.4. Модельная задача о травлении материала (химическом, ионно-лучевом, электронно-лучевом, реактивно-ионном)
- •1.5. Модельная задача о просачивании воды сквозь песок
- •1.6. Модельная задача о динамике дорожного движения
- •2. Классификация учп первого порядка
- •Типология учп первого порядка
- •3. Уравнения характеристик
- •Семейство прямых
- •Физическая интерпретация этого факта
- •4. Задача Коши. Метод характеристик
- •Физическая интерпретация полученного решения
- •5. Задача Коши. Метод вариации произвольной постоянной
1. Модельные задачи, приводящие к уравнениям с частными производными первого порядка
1.1. Модельная задача о сбросе токсичного вещества в реку
Рисунок 1
Пусть - скорость течения реки. Направим ось вдоль русла реки. Обозначим через расстояние вниз по течению от места сброса вещества. Считаем, что вещество не диффундирует в воде, а переносится течением. Загрязнение реки (концентрация токсичного вещества в воде) будет сначала равно нулю, а затем, поддерживаемое постоянным в точке будет смещаться вниз по течению со скоростью
Обозначим через концентрацию вещества в точке в момент времени . Покажем, что в условиях конвективного переноса, концентрация вещества удовлетворяет так называемому уравнению переноса:
. (1)
Выделим в русле реки элементарный участок длины , ограниченный сечениями в точках и . Обозначив площадь любого произвольного сечения через объем этого элементарного участка можно приближенно считать равным или . Здесь - время от момента до , за которое течение со скоростью переносит вещество на расстояние .
Составим уравнение материального баланса (УМБ) для этого участка реки за время от до .
УМБ, выражающее закон сохранения вещества, в текстовом виде схематично можно записать так:
Или:
Разделив почленно обе части УМБ на , получим:
Совершив предельный переход при и , получим уравнение (1):
1.2. Модельная задача о химической реакции, протекающей в потоке в режиме идеального вытеснения
Рисунок 2
Рассмотрим необратимую химическую реакцию первого порядка , протекающую в одномерном потоке (в реакционной трубке) в режиме идеального вытеснения. Здесь - константа скорости реакции задана; скорость потока считаем равной
Направим ось вдоль трубки (рис. 2). Пусть - площадь ее поперечного сечения. При описании такого химического процесса необходимо учитывать не только протекание реакции во времени, но и перемещение вещества вдоль пространственной координаты. Поэтому модельное уравнение динамики этого процесса содержит две независимые переменные: координату и время
Обозначим через:
концентрацию в точке в момент времени непрореагировавшего вещества ,
концентрацию в точке в момент времени образовавшегося вещества (прореагировавшего вещества А). Покажем, что динамика процесса моделируется уравнением химической кинетики:
(2)
Выделим в реакционной трубке (в потоке) элементарный участок длины , ограниченный сечениями в точках и ; его объем - или .
Составим уравнение материального баланса (УМБ) для этого элементарного участка за время от до .
УМБ выражает закон сохранения вещества.
У МБ в текстовом виде схематично можно представить так:
или в формализованном виде:
Разделив почленно обе части УМБ на , получим:
Совершив предельный переход при и , приходим к уравнению:
Физический смысл - истинная скорость химической реакции первого порядка, которая равна
Окончательно УМБ принимает вид (2):