- •Оглавление
- •Введение
- •1. Модельные задачи, приводящие к уравнениям с частными производными первого порядка
- •1.1. Модельная задача о сбросе токсичного вещества в реку
- •1.2. Модельная задача о химической реакции, протекающей в потоке в режиме идеального вытеснения
- •1.3. Модельная задача о процессе изотермической сорбции газа
- •1.4. Модельная задача о травлении материала (химическом, ионно-лучевом, электронно-лучевом, реактивно-ионном)
- •1.5. Модельная задача о просачивании воды сквозь песок
- •1.6. Модельная задача о динамике дорожного движения
- •2. Классификация учп первого порядка
- •Типология учп первого порядка
- •3. Уравнения характеристик
- •Семейство прямых
- •Физическая интерпретация этого факта
- •4. Задача Коши. Метод характеристик
- •Физическая интерпретация полученного решения
- •5. Задача Коши. Метод вариации произвольной постоянной
2. Классификация учп первого порядка
Квазилинейными уравнениями с частными производными первого порядка называются уравнения вида:
где - известные функции,
- функция, подлежащая определению.
Если функции от не зависят, то уравнение с частными производными называется линейным; если функция то УЧП называется однородным.
Типология учп первого порядка
Таблица 1
Модельная задача |
Название УЧП |
Вид УЧП первого 1-го порядка |
Тип УЧП первого порядка |
О сбросе токсичного вещества в реку |
уравнение конвективного переноса |
|
линейное однородное с постоянными коэффициентами |
О химической реакции, протекающей в потоке в режиме идеального вытеснения |
уравнение химической кинетики |
|
квазилинейное неоднородное с постоянными коэффициентами |
О процессе изотермической сорбции газа |
уравнение сорбции |
|
линейное неоднородное |
уравнение изотермической сорбции |
|
квазилинейное |
|
О травлении материала (химическом, ионно-лучевом, электронно-лучевом, реактивно-ионном) |
уравнение травления материала |
|
нелинейное |
О просачивании воды сквозь песок |
кинетическое уравнение |
|
квазилинейное однородное |
О динамике дорожного движения |
кинетическое уравнение |
|
квазилинейное однородное |
3. Уравнения характеристик
Рассмотрим оператор
(14)
где заданные непрерывные функции, определенные в некоторой области ;
непрерывно дифференцируемая функция в этой области , причем
Как известно, производная функции в фиксированной точке по направлению единичного вектора равна
Выражение
где можно интерпретировать как производную функции в точке по направлению единичного вектора с компонентами
Ясно, что
Тога оператор , задаваемый формулой (14) можно представить в следующем виде
и рассматривать как производную от функции по направлению вектора умноженную на
Определение 1. Направление, задаваемое вектором называется характеристическим направлением оператора в фиксированной точке .
Определение 2. Кривая , в каждой точке которой ее касательная имеет характеристическое направление оператора , называется характеристикой оператора .
Рисунок 5. Характеристика оператора
В каждой точке характеристики вектор коллинеарен вектору что означает пропорциональность координат этих векторов:
Таким образом, приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению характеристик
или (16)
Введя параметр , меняющийся вдоль характеристики, можно записать
,
откуда получаем эквивалентную (16) систему ОДУ в нормальном виде:
(17)
Решив обыкновенное дифференциальное уравнение (16) или нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (17), можно найти и построить характеристики везде в той части пространства, где определена дифференцируемая функция , иначе - где задано плоское скалярное поле
Пример 1. Для оператора где дифференциальное уравнение характеристик (16) имеет вид
Разделяя переменные и интегрируя уравнение, получаем
Следовательно, характеристики данного оператора представляют собой однопараметрическое семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом , заполняющих собой всю плоскость .
Рисунок 6. Характеристики оператора образуют однопараметрическое