13.14. Производные высших порядков
Производная
является также функцией от
и называется производной первого
порядка.
Если
функция
дифференцируема, то ее производная
называется производной второго порядка
и обозначается
.
Итак,
.
Производная
от производной второго порядка, если
она существует, называется производной
третьего порядка и обозначается
.
Итак,
.
Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1) порядка:
.
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Примеры.
1)
Найти производную 3-го порядка для
функции
.
Имеем:
;
;
.
2)
Найти производную
-го
порядка для функции
.
Имеем:
;
;
;
;
.
Таким образом,
.
§14. Дифференциал функции
14.1. Понятие дифференциала функции
Пусть
функция
имеет в точке
отличную от нуля производную
.
Тогда, по теореме о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции,
можно записать
,
где
при
,
или
.
Таким
образом, приращение функции представляет
собой сумму двух слагаемых
и
,
которые являются бесконечно малыми при
.
При этом первое слагаемое есть бесконечно
малая функция одного порядка с
,
а второе слагаемое есть бесконечно
малая функция более высокого порядка,
чем
.
Поэтому первое слагаемое
называют главной частью приращения
функции.
Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента и обозначается
,
т.е.
.
Рассмотрим
функцию у=х.
В этом случае
,
то есть
.
Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной, т.е.
.
Тогда,
согласно данной формуле, производную
функции можно записать, как отношение
ее дифференциалов:
.
Отметим, что дифференциал обладает инвариантностью формы, то есть та же формула применяется и для вычисления дифференциала от сложной функции:
если
,
то
.
14.2. Основные теоремы о дифференциалах
Теорема 14.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
,
,
.
Теорема 14.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Пример.
Функция
является сложной. Здесь
,
где
.
Тогда
.
14.3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Для
функции
приращение функции
состоит из двух слагаемых, одно из
которых является бесконечно малой
более высокого порядка чем
,
что дает нам право им пренебречь:
,
т.е.
или
.
Данные формулы используются для приближенных вычислений.
Пример.
Вычислить
приближенно
.
Рассмотрим
функцию
.
По формуле
имеем:
,
т.е.
.
Так как
,
то при
и
,
получаем:
.
§15. Исследование функций при помощи производных
15.1. Правило Лопиталя
Для вычисления пределов часто используют следующую теорему.
Теорема 15.1. (правило Лопиталя).
Пусть
функции
и
дифференцируемы в некоторой окрестности
точки
(за исключением может быть самой точки),
и
(или
),
причем
в некоторой окрестности точки х0,
тогда
.
Так,
неопределенности вида
или
приводятся к неопределенностям вида
с помощью алгебраических преобразований.
Неопределенности вида
с помощью логарифмирования сводятся к
неопределенности вида
.
В некоторых случаях для решения задачи
требуется неоднократное применение
правила Лопиталя.
Примеры.
1)
.
2)
=
.