- •Тема III – основы математического анализа
- •§8. Множества и операции над ними
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Числовые множества
- •9. Функция
- •9.1. Понятия функции и ее графика
- •9.2. Способы задания функций
- •9.3. Некоторые свойства функций
- •9.4. Обратная функция
- •9.5. Основные элементарные функции
- •9.5. Сложная функция и элементарные функции
- •§10. Предел функции
- •10.1. Предел функции в точке
- •10.2. Односторонние пределы
- •10.3. Предел функции на бесконечности
- •10.4. Бесконечно большие функции
- •§11. Бесконечно малые функции
- •11.1. Определение и основные теоремы
- •11.2. Основные теоремы о пределах
- •11.3. Техника вычисления пределов. Примеры
- •11.4. Первый замечательный предел
- •11.5. Эквивалентные функции
- •11.6. Второй замечательный предел
- •11.7. Техника вычисления пределов вида .
- •§12. Непрерывность функции
- •12.1. Непрерывность функции в точке и в области
- •12.2. Основные теоремы о непрерывных функциях
- •12.3. Классификация точек разрыва
- •§13. Производная функции
- •13.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •13.2. Определение производной функции в точке
- •13.3. Геометрический смысл производной
- •13.4. Физический смысл производной
- •13.5. Дифференцируемость функций
- •13.6. Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций
- •13.7. Производная сложной и обратной функции
- •13.8. Производные основных элементарных функций
- •13.9. Производная функции, заданной неявно
- •13.10. Логарифмическая производная
- •13.11. Производная функции, заданной параметрически
- •13.13. Примеры вычисления производных
- •13.14. Производные высших порядков
- •§14. Дифференциал функции
- •14.1. Понятие дифференциала функции
- •14.2. Основные теоремы о дифференциалах
- •14.3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •§15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Правило Лопиталя
- •15.2. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •15.3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:
9.5. Сложная функция и элементарные функции
Пусть функция определена на множестве D, а функция u = (x) определена на множестве D1. Тогда на множестве D1 определена функция y = f((x)). Данная функция называется сложной функцией (или функцией от функции), а переменная u – промежуточным аргументом.
Функции, которые можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над основными элементарными функциями и операции взятия функции от функции называют элементарными функциями.
Примерами элементарных функций являются:
многочлен где – степень многочлена, а – его коэффициенты, причем ,
рациональная функция ,
сложные функции и т.п.
Рассмотренная выше функция signx не является элементарной.
§10. Предел функции
10.1. Предел функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки или в некоторых точках этой окрестности.
Говорят, что функция стремится к пределу ( ) при стремящемся к ( ), если для любого сколь угодно малого найдется такой , что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство . Записывают следующим образом .
Кратко это определение записывают, при помощи общепринятых обозначений, перечисленных в п. 8.1., следующим образом:
.
Геометрически это определение означает, что чем ближе значение аргумента функции х к х0, тем ближе значение функции у к А (какую бы маленькую мы ни выбрали -окрестность точки А, найдется такое , что для всех знасчений аргуимента из -окрестности точки х0 значение функции попадет в -окрестность точки А).
10.2. Односторонние пределы
В определении предела функции считается что любым способом. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.
Число А называется пределом функции слева в точке , если для любого существует число такое, что при , выполняется неравенство . Предел слева записывают следующим образом или . Аналогично определяется предел функции справа. Обозначается или . Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами.
10.3. Предел функции на бесконечности
Число A называется пределом функции при , если для любого наществует такое число , что при всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Записывают: .
Кратко:
Если , то пишут ; если , то .
10.4. Бесконечно большие функции
Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при , если
. Записывают: .
Иными словами, такая функция f(x) является неограниченной в окрестности точки х0.
Если f(x) – бесконечно большая при и при этом принимает вблизи точки х0 только положительные значения, то пишут ; если такая функция принимает только отрицательные значения, то .
Функция называется бесконечно большой функцией при , если . Записывают: .
П ример. Рассмотрим функцию , представленную на рисунке.
Рис. 19
Здесь ; ; ; ; ; ; ; .