7. Некоторые нелинейные задачи теории случайных

ПРОЦЕССОВ

7.1 Метод статистической линеаризации

Если передаточная функция системы содержит нелинейное звено, то рассмотренный ранее метод, заключающийся в использовании понятия спектральной плотности случайных процессов, не может быть непосредственно применен к анализу вероятностных характеристик процессов на выходе системы. Для приближенного определения этих характеристик можно применить метод статистической реализации, основанный на замене нелинейных функций такими линейными функциями, которые в известном смысле статистически равноценны нелинейным функциям.

Если ограничиться рамками корреляционной теории случайных процессов, то процессы на выходе нелинейной и линеаризованной систем должны иметь одинаковые моменты первого и второго порядков.

Пусть задана некоторая нелинейная функция вида

. (7.1)

Заменим функцию (7.1) линейной функцией

. (7.2)

Выберем коэффициенты k₀ и k₁ таким образом, чтобы удовлетворить условиям: и . Тогда , .

Следовательно, коэффициенты линеаризации определятся как

, . (7.3)

Знак у k₁ следует брать тот же, что и у производной функции (Х).

Поскольку

, ,

то для определения коэффициентов линеаризации по (7.3) необходимо знать одномерный закон распределения случайного процесса на входе нелинейной системы.

Можно воспользоваться и иным способом определения коэффициентов линеаризации: из условия минимума среднего квадрата ошибки, обусловленной заменой процесса Y на процесс Z или .

Раскрывая последнее соотношение, получим:

(7.4)_

Дифференцируя выражение (7.4) по k₀ и k₁ и приравнивая производные нулю, будем иметь:

, . (7.5)

Из (7.3) и (7.5) следует, что коэффициент k₀, полученный двумя различными способами линеаризации, оказался одинаковым, в то время как коэффициенты k₁ различаются между собой. И. Е. Казаков, разработавший метод статистической реализации, предлагает в качестве коэффициента k₁ принимать среднее значение из полученных двумя способами. Следует заметить, что коэффициенты статистической линеаризации можно трактовать следующим образом:

k₀ – статистический коэффициент передачи нелинейного элемента по полезному сигналу,

k₁ - статистический коэффициент передачи нелинейного элемента по флуктуациям.

7.2. Исследование точности нелинейных систем

В предыдущем параграфе рассматривалась система без памяти, т.е. такая сиссистема, в которой выходной сигнал Y в некоторый момент времени t полностью определяется входным сигналом X в этот же момент времени. Поэтому для нелинейных систем без памяти связь между входным и выходным сигналами задается соотношением (рис.7.1,а) или в более общем виде , отвечающим схеме с обратной связью, например, (рис.7.1,б).

Рис.7.1. Структурные схемы систем без памяти

Под нелинейными системами с памятью понимаются такие системы, в которых выходной сигнал Y(t) в момент t зависит не только от входного сигнала X(t) в тот же момент времени, но и от его значения в другие моменты времени. Возможные структурные схемы нелинейных систем с памятью при одном нелинейном элементе приведены на

Рис.7.2 Структурные схемы систем с памятью

При применении метода статистической линеаризации передаточные функции нелинейных звеньев систем, приведенных на рис.7.2 ( ), имеют вид

. (7.6)

Приведем методику определения математического ожидания и дисперсии сигналов на выходе систем при линеаризации нелинейного звена.

Схема рис.7.2,а( система без обратной связи)

Сигнал на выходе нелинейного звена определится как . При этом , . Математическое ожидание и дисперсия сигнала X₁ определятся как:

, .

Линейная связь между сигналами X₁ и Y может быть представлена в виде:

или .

Но . Следовательно, и спектральная плотность процесса на выходе системы определится как:

Отсюда находим искомые числовые характеристики процесса на выходе системы:

, .

Интеграл в выражении для дисперсии целесообразно вычислять с помощью теории вычетов.

Схема рис.7.2,б ( система с обратной связью)

Сигнал . Связь между сигналом X₁ и Y линейна: . Линеаризованная связь между Y и X₂ имеет вид . Коэффициенты линеаризации определются как ,

. Так как , , то

, . Математическое ожидание процесса на выходе рассматриваемой системы определится как:

или

. (7.7)

В уравнение (7.7) входят две неизвестные искомые величины – m_Y и _Y. Второе уравнение получим, рассматривая процесс передачи флуктуаций сигнала на входе:

или

.

Используя понятие спектральной плотности входного сигнала, получим выражение для искомой дисперсии на выходе системы:

. (7.8)

Совместное решение уравнений (7.7) и (7.8) позволит определить искомые числовые характеристики процесса на выходе рассматриваемой системы - m_Y и

_Y.

Схема рис.7.3,в.

Сигнал на входе нелинейного элемента определяется как . Процесс на выходе этого элемента при его линеаризации  На выходе системы  . Математическое ожидание процесса на выходе системы определится из выражения:

,

. (7.9)

Центрированный процесс на выходе системы определится как:

.

Из последнего выражения следует:

.

Используя понятие спектральной плотности входного сигнала, получим выражение для дисперсии процесса на выходе системы:

. (7.10)

Из (7.9) и (7.10) видно, что математическое ожидание и дисперсия процесса на выходе системы зависят от числовых характеристик процесса на входе нелинейного звена X₁(t).

Математическое ожидание этого процесса определится как

. (7.11)

Для определения получим выражение для операторного изображения центрированного процесса :

Дисперсия процесса определится как:

. (7.12)

Из уравнений (7.11) и (7.12) определяются , а затем из выражений (7.9) и (7.10) искомые числовые характеристики процесса Y(t).

Схема рис.7.3,г.

В этой схеме , , .

Математическое ожидание процесса на выходе системы определится как:

. (7.13)

Центрированный процесс на выходе системы будет:

и, соответственно, дисперсия на выходе системы определится как:

. (7.14)

Для определения и по (7.13) и (7.14) необходимо определить и . Эти числовые характеристики процесса определяются из двух уравнений:

, (7.15)

. (7.16)

Примеры. Рассмотрим процессы в схемах с памятью без обратной связи (рис.7.3,а) и с обратной связью (рис.7.3,в). Процесс на входе этих систем примем стационарным и нормальным при m_X=0 ( ). Спектральная функция этого процесса аппроксимируется выражением ( ).

Н елинейное звено описывается выражением (рис.7.4)

Линейное звено в рассматриваемых системах является интегрирующим контуром (цепочка R–C), передаточная функция которого записывается как , .

Рис.7.4

Схема рис.7.3,а.( , ). =

(  интеграл вероятности или функция Лапласа). Коэффициенты линейной аппроксимации нелинейного звена рис.7.4

определятся как , (7.17)

. (7.18)

Математическое ожидание и спектральная плотность процесса на выходе системы определятся как:

. (7.19)

.

Дисперсия процесса на выходе системы будет:

.

Беря интеграл с помощью теории вычетов в левых полюсах подынтегральной

функции, получим .

Схема рис.7.3,в.При линеаризации нелинейного звена процессы на его выходе и на выходе всей системы в целом будут нормальными, так как по условию задачи процесс на входе системы представляет собой нормальный стационарный процесс. Поэтому

, .

При этом коэффициенты линеаризации нелинейного звена запишутся в виде:

, . (7.20)

Но . Следовательно, , .

Математическое ожидание процесса на выходе системы будет:

. (7.21)

Операторное изображение центрированного процесса на выходе системы записывается в виде:

.

Спектральная плотность на выходе системы будет:

. (7.22)

Беря оригинал от выражения (7.22) с помощью определения вычетов в его левых полюсах, получаем выражение для дисперсии процесса на выходе линеаризованной системы:

. (7.23)

В (7.23) входит коэффициент линеаризации k₁. Составим уравнение для его определения. Дисперсия на входе нелинейного звена определяется как:

.

Следовательно, . (7.24)

Таким образом, из (7.24) при известных параметрах корреляционной функции процесса на входе системы (параметр ) и передаточной функции линейного звена (параметр ) определяется коэффициент линеаризации k₁, а затем из (7.23) – D_Y.