8.Определение характеристик случайных процессов

ПО ДАННЫМ ОПЫТОВ

8.1. Статистическая оценка математического ожидания случайного

процесса

Положим, что для некоторого процесса получено n реализаций за время Т. В произвольный момент времени t X(t) будет принимать различные значения и в этот момент времени может рассматриваться как случайная величина:

. (8.1)

Приведенная оценка является несмещенной и эффективной:

, .

Рассмотрим далее стационарный эргодический процесс. В этом случае исследователь располагает, как правило, не большим количеством реализаций за относительно короткое время, а одной реализацией процесса в течение большого интервала времени. Поэтому при определении математического ожидания процесса вместо усреднения ординат случайных процессов, полученных в одинаковые моменты времени, производится усреднение ординат, полученных в различные моменты времени:

. (8.2)

Оценка (8.2) является несмещенной. Действительно

Проверим состоятельность оценки (8.2). Для этого определим дисперсию введенной оценки . Введем функцию . Тогда

.

Последний интеграл можно рассматривать как интеграл от K_XX(t₁-t₂) по площади квадрата 0ABC (рис.8.1). Но поскольку K_XX(t₁-t₂) – четная функция, то

.

Введем новую переменную . Тогда

. (8.3)

Изображение (8.3) запишется в виде . Изображение при этом будет . Оригинал, отвечающий этому изображению, согласно теореме умножения изображений (Бореля) [2] запишется как:

.

В случае эргодического процесса . Следовательно,

и приведенная оценка математического ожидания эргодического процесса является состоятельной. Можно показать также, что эта оценка является также и эффективной.

Предположим далее, что исследователь располагает n независимыми реализациями наблюдаемого процесса X(t). Для большей достоверности оценки математического ожидания целесообразно усреднить эти реализации. Однако, веса отдельных реализаций различны, так как различны времена их наблюдения T_i. Следовательно, усреднение надо осуществлять по правилу усреднения неравноточных величин:

. (8.4)

Условием несмещенности оценки является

. (8.5)

Веса g_i найдем из условия эффективности введенной оценки:

. (8.6)

Последнее условие записывается в виде:

. (8.7)

Поскольку перепишем в виде:

. (8.8)

Беря производные от (8.8), получим . Отсюда

. (8.9)

Подставляя g_i в , будем иметь =1 и

. (8.10)

Подставляя (8.10) в (8.9), окончательно получим

. (8.11)

Из (8.11) видно, что веса отдельных независимых реализаций эргодического процесса обратно пропорциональны дисперсиям оценок их математических ожиданий.

Пример. Даны оценки математических ожиданий трех реализаций эргодического процесса, а также дисперсии этих оценок ( ,

): , , , , .

Веса этих реализаций, определенные по (8.11), оказались равными: g₁=0.4; g₂=0.4; g₃=0.2. Усредненная с учетом полученных весов оценка математического ожидания рассматриваемого процесса