1.3. Влияние кривизны Земли на угловые, линейные и высотные измерения
Примем Землю за шар с R = 6372 км. Найдем размеры участка земной поверхности, результаты геодезических измерений на котором незначительно отличаются от аналогичных измерений, выполненных на плоскости.
П
усть
на сфере измерены углы А, В, С (рис.1.2).
Стороны такого треугольника образованы
дугами больших кругов. Известно, что
сумма углов сферического треугольника
А+В+С >180º. После ортогонального (в
геодезии – по направлению силы тяжести)
проектирования точек А, В, С на плоскость
получим плоский треугольник А′В′С′,
в котором сумма углов
А′ + В′ + С′ = 180º.
Если стороны треугольника на сфере менее 20 км, то величина
ε = А + В + С -180º
не превышает десятых долей секунды дуги. Так как средняя точность измерения углов на строительной площадке порядка 30″, то кривизной Земли при угловых измерениях в таком случае можно пренебречь.
Найдем искажение в длине дуги АВ = S после замены ее отрезком касательной А′В′ = d в середине дуги - точке С (рис.1.3).
Вычислим
= d – S , (1)
где (2)
Р
азложим
в ряд
(3)
Величину S/R подставим в (3), ограничиваясь двумя членами разложения
Тогда формула (2) примет вид
Окончательно получим
(4)
Величину линейного искажения принято характеризовать относительной погрешностью, которая в нашем случае будет равна
(5)
Величина погрешности (5) для S = 20 км равна
Современный уровень техники геодезических измерений позволяет достичь точности 1:1 000 000 и, следовательно, кривизной Земли при измерении расстояний в этом случае можно пренебречь.
Замена дуги АВ касательной в точке С приводит к искажению высот. По мере удаления от точки это искажение возрастает. Обозначим его величину на концах дуги через h (рис.1.3). Из треугольника ОСВ имеем
Откуда найдем
Величиной h в знаменателе можно пренебречь и окончательно получим
(6)
Придавая расстоянию d/2 различные значения, получим для искажения следующие величины (табл.1)
Таблица 1
d/2 , м |
100 |
500 |
1000 |
2000 |
3000 |
5000 |
h, мм |
0,8 |
20 |
78 |
310 |
710 |
1050 |
Поскольку размеры строительной площадки нередко достигают 1000 м и более, и при этом требуется обеспечить точность в определении высот точек порядка 20-50 мм при их удалении друг от друга на 1 км, то, очевидно, что при измерении вертикальных расстояний кривизной Земли пренебрегать нельзя. Однако, как увидим в дальнейшем, это препятствие легко устраняется путем применения специальной методики измерения превышений.
С учетом сделанного замечания можно сделать вывод: практически при всех геодезических измерениях на строительной площадке кривизной Земли можно пренебречь.