- •1 Известно, что функция , непрерывна в точке , являющейся предельной для . Найти .
- •2 Для функции , с областью определения , точки и положительных чисел и найти такие положительные и , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется условие .
- •3 Доказать непрерывность функции , , где в точке непосредственно по определению непрерывности ([1], с. 170) и определению предела функции по Коши ([1], с. 152)
- •7. Найти . Пусть . При каком значении функция будет непрерывна в точке ? Верно ли, что при всех других значениях функция будет иметь устранимый разрыв в точке ?
- •9 Пусть . Определить характер точек разрыва в точках и (или доказать непрерывность в этих точках) и построить график функции :
- •Решение типовых примеров
- •1.20 Известно, что функция , , непрерывна в точке , являющейся предельной для . Найти , если , , .
- •2.20 Для функции , с областью определения , точки и положительных чисел и найти такие положительные и , что для любых , удовлетворяющих условию , выполняется условие .
- •3.20 Доказать непрерывность функции , , где в точке непосредственно по определению непрерывности ([1], с. 170) и определению предела функции по Коши ([1], с. 152), если , .
- •4 Используя односторонние пределы, доказать непрерывность функции в точке :
- •7 Найти область определения и исследовать на непрерывность функцию , заданную следующим образом:
- •8 Исследовать на непрерывность функцию и определить характер точек разрыва (здесь -функция «целая часть», -функция «дробная часть», - функция Дирихле):
- •Решение типовых примеров
- •6.20 Найти предел последовательности . Непрерывность какой функции (и в какой точке) использовалась при вычислении предела?
- •7.20. Найти область определения и исследовать на непрерывность функцию , заданную следующим образом:
- •8.20. Исследовать на непрерывность функцию и определить характер точек разрыва.
- •1 Повторите определение дифференцируемости функции в точке. Докажите непосредственно по определению, что функция дифференцируема в точке . Запишите дифференциал функции в виде :
- •4 Используя excel и разбивая отрезок на 1000 частей точками 0; 0,004; 0,008; 0,016;…;3,996;4
- •8 Найти углы, под которыми график функции пересекает ось абсцисс:
- •Решение типовых примеров
1 Повторите определение дифференцируемости функции в точке. Докажите непосредственно по определению, что функция дифференцируема в точке . Запишите дифференциал функции в виде :
№ |
|
|
№ |
|
|
1.1 |
|
1 |
1.11 |
|
1 |
1.2 |
|
3 |
1.12 |
|
3 |
1.3 |
|
2 |
1.13 |
|
2 |
1.4 |
|
|
1.14 |
|
|
1.5 |
|
|
1.15 |
|
|
1.6 |
|
|
1.16 |
|
|
1.7 |
|
1 |
1.17 |
|
1 |
1.8 |
|
3 |
1.18 |
|
3 |
1.9 |
|
2 |
1.19 |
|
2 |
1.10 |
|
|
1.20 |
|
|
2 Для функции и точки из задания 1 найдите производную непосредственно по определению. Обратите внимание, что представление приращения функции в виде , полученное в предыдущем задании, облегчает вычисление производной (то есть вычисление предела ). Повторите теорему о равносильности дифференцируемости функции в точке и существования конечной производной в этой точке. Запишите определение дифференцируемости и определение производной, используя символы вместо .
3 Для функции , точки и значений , равных 1; -1; 0,5; -0,5; 0,1; -0,1; 0,05; -0,05; 0,01; -0,01; 0,005; -0,005; 0, 001; -0, 001, вычислите, используя EXCEL, приращение функции и отношение . Какое предположение можно сделать на основе полученных результатов о величине ? О производной ? О дифференциале в точке ?
№ |
|
|
№ |
|
|
3.1 |
|
0 |
3.11 |
|
0 |
3.2 |
|
1 |
3.12 |
|
|
3.3 |
|
|
3.13 |
|
1 |
3.4 |
|
1 |
3.14 |
|
4 |
3.5 |
|
0 |
3.15 |
|
0 |
3.6 |
|
0 |
3.16 |
|
0 |
3.7 |
|
-1 |
3.17 |
|
0 |
3.8 |
|
0 |
3.18 |
|
0 |
3.9 |
|
0 |
3.19 |
|
0 |
3.10 |
|
1 |
3.20 |
|
0 |
4 Используя excel и разбивая отрезок на 1000 частей точками 0; 0,004; 0,008; 0,016;…;3,996;4
а) постройте график функции на
б) выберите свободную ячейку для коэффициента , поместите в неё какое-нибудь число и постройте график функции
в) изменяя содержимое указанной ячейки (то есть изменяя число ), обратите внимание на изменение положения прямой , проходящей через точку
г) подберите число так, чтобы получающаяся прямая как можно лучше сливалась с графиком функции в окрестности точки .
д) какое предположение можно сделать на основе этого эксперимента о величине производной функции в точке и о дифференциале функции в точке ?
№ |
|
|
№ |
|
|
4.1 |
|
|
4.11 |
|
|
4.2 |
|
|
4.12 |
|
|
4.3 |
|
|
4.13 |
|
|
4.4 |
|
|
4.14 |
|
|
4.5 |
|
|
4.15 |
|
|
4.6 |
|
|
4.16 |
|
|
4.7 |
|
|
4.17 |
|
|
4.8 |
|
|
4.18 |
|
|
4.9 |
|
|
4.19 |
|
|
4.10 |
|
|
4.20 |
|
|
5 Пусть тело движется прямолинейно и равноускоренно по закону . Используя EXCEL, найти среднюю скорость тела на промежутке с концами и , если равно 1; -1; 0,5; -0,5; 0,1; -0,1; 0,05; -0,05; 0,01; -0,01; 0,005; -0,005; 0, 001; -0, 001. Найти производную функции в точке . Найти мгновенную скорость тела в момент .
№ |
|
|
№ |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5.1 |
|
|
5.11 |
|
|
5.2 |
|
|
5.12 |
|
|
5.3 |
|
|
5.13 |
|
|
5.4 |
|
|
5.14 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5.5 |
|
|
5.15 |
|
|
5.6 |
|
|
5.16 |
|
|
5.7 |
|
|
5.17 |
|
|
5.8 |
|
|
5.18 |
|
|
5.9 |
|
|
5.19 |
|
|
5.10 |
|
|
5.20 |
|
10 |
6 Может ли некоторая функция быть дифференцируемой в точке и не быть непрерывной в этой точке ? Может ли некоторая функция быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке ? Докажите, что функция непрерывна в точке и не дифференцируема (не имеет производной) в этой точке:
№ |
|
|
№ |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
6.1 |
|
|
6.11 |
|
|
6.2 |
|
|
6.12 |
|
|
6.3 |
|
|
6.13 |
|
|
6.4 |
|
|
6.14 |
|
|
6.5 |
|
|
6.15 |
|
|
6.6 |
|
|
6.16 |
|
|
6.7 |
|
|
6.17 |
|
|
6.8 |
|
|
6.18 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
6.9 |
|
|
6.19 |
|
|
6.10 |
|
|
6.20 |
|
|
7 Построить график функции . Провести секущую через точки и для значения , равного 1. Построить треугольник с вершинами , , . Найти длины катетов этого треугольника и тангенс угла с вершиной . Провести секущую через точки и для значений , равных 1; 0,5; 0,1. Провести касательную к графику функции в точке . Используя EXCEL, вычислить угловые коэффициенты секущих для значений , равных 1; 0,5; 0,1; 0,05; 0,01; 0,005; 0,001; 0,0005; 0,0001. Найти производную функции в точке (производную находить непосредственно по определению, вычисляя предел отношения приращения функции к приращению аргумента). Какой геометрический смысл имеет производная?
№ |
|
|
№ |
|
|
7.1 |
|
|
7.11 |
|
|
7.2 |
|
|
7.12 |
|
4 |
7.3 |
|
|
7.13 |
|
|
7.4 |
|
|
7.14 |
|
|
7.5 |
|
|
7.15 |
|
|
7.6 |
|
|
7.16 |
|
|
7.7 |
|
|
7.17 |
|
|
7.8 |
|
|
7.18 |
|
|
7.9 |
|
|
7.19 |
|
|
7.10 |
|
|
7.20 |
|
|