Метод координат

В элементарной (школьной) геометрии изучаются свойства прямолинейных фи­гур и окружности (в разделе планиметрия), а также прямые и плоскости в про­странстве, многогранники и круглые тела — цилиндр, конус, шар (в разделе сте­реометрия). Основную роль при этом играют построения, а вычислениям отводится роль вспомогательная. Выбор того или иного построения для каждого конкрет­ного случая требует обычно индивидуального подхода и соответствующей изобре­тательности, что и составляет основную трудность при решении задач методами элементарной геометрии.

Аналитическая геометрия и была призвана устранить эти трудности и создать единый метод решения различных геометрических задач. Поставленная цель была достигнута разработкой координатного метода, в котором основную роль играют вычисления, выполняемые по заданным формулам, а построения имеют вспомога­тельное значение.

Необходимые предпосылки для создания метода координат были подготовлены еще трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония Пергского (ок. 260—170 до н. э.). Однако систематическое развитие этот метод получил в первой половине XVII века в работах Рене Декарта и Пье­ра Ферма.

Рене Декарт (Rene Descartes, 1596—1650) — знаменитый французский фи­лософ, математик, физик и физиолог. Родился в г. Лаэ (департамент Турень) в дворянской семье. В 1629 г. поселился в Голландии, где написал большую часть своих работ. Умер в Стокгольме, куда переехал в 1649 г.

В физике Декарт установил закон преломления света на границе двух сред (который несколько раньше и независимо от него был сформулирован В. Снеллиусом), пояснил образование радуги. Ему же принадлежит формулировка закона сохра­нения количества движения (в скалярной форме) и разработка механистической гипо­тезы образования тел Солнечной системы. В области физиологии Декарту принадле­жит большое число экспериментов и ряд плодотворных научных идей, в частности, он первым ввел понятие о рефлексе.

В 1637 г. Декарт издал большой философский трактат «Рассуждение о мето­де. С приложениями: Диоптрика, Метеоры, Геометрия» (русский перевод, Гостехиздат, М., 1953), в котором, в частности, систематически изложен метод прямоли­нейных координат, введена удобная алгебраическая символика, сохранившаяся до наших дней, выполнена классификация кривых на алгебраические и трансцен­дентные, а также даны способы построения касательных и нормалей к плоским алгебраическим кривым. Благодаря этой работе, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие математики, Декарта, наряду с его не менее знаменитым соотечественником Ферма (который раньше и более последовательно, чем Декарт, разработал метод координат, но работы Ферма, в том числе и по аналитической геометрии, были опубликованы только в 1679 г. после его смерти), и считают основоположником аналитической геометрии, а 1637 год — годом ее зарождения.

Перейдём к изложению метода координат.

§1. Координатная ось. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

1. Координатная ось. Вещественные (действительные) числа изображают геометри­чески точками прямой линии. Для этого на прямой линии (кото­рую обычно чертят горизонтально) отмечают две точки: одну, изображающую число 0, и другую (обычно справа от первой), изображающую число 1. Отрезок 01 принимают за единицу масштаба для измерения длин на оси. Выбор eгo находится в нашем распоряжении. Но как только выбор сделан, каждое вещественное число изображается концом отрезка, измеряемого в указанном масштабе абсолютной величиной этого числа и откладываемого от точки О в сторону точки 1 (вправо), если число положительно, или в противоположную сторону (влево), если число отрицательно. Направле­ние от точки 0 к точке 1 называют положительным, противоположное направление — отрицательным (обычно положительное на­правление отмечается стрелкой).

Прямая, на которой одно из двух возможных направлений выбрано в качестве положительного, называется ориентированной прямой или осью. Таким образом, для изображения вещественных чисел служит ось, на которой выбраны точка 0 („начало отсчета", или начало координат) и единица масштаба; такая ось называется координатной осью (или числовой прямой). Полупрямая, идущая от точки 0 в положительном направлении, называется положительной полуосью; полупрямая, идущая от точки 0, в противоположном направлении, — отрицательной полуосью. Отрезок, соединяющий нача­ло координат с точкой координатной оси, называется координатным отрезком этой точки.

Каждая точка координатной оси изображает в указанном смысле некоторое вещественное число. Это число называют координатой точки. Таким образом, координата точки равна (измеренной в выбранном масштабе) длине ее координатного отрезка, взятой со знаком плюс, если точка лежит на положительной полуоси, или со знаком минус, если точка лежит на отрицательной полуоси. Начало координат имеет координату нуль. Положение каждой точки координатной оси вполне определяется заданием ее координаты.

Таким образом между совокупностью всех точек прямой и совокупностью всех вещественных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому вещественному числу соответствует одна и только одна изображающая его точка прямой, и каждой точке прямой соответствует одно и только одно вещественное число— ее координата. Геометрическое изображение чисел точками прямой доставляет одновременно способ задавать положение точек прямой числами.

2. Декартовы координаты на плоскости. Для того чтобы задавать числами положение точек плоскости, на плоскости выбирают две координатные оси, пересекающиеся, вообще говоря, под произвольным углом (разумеется, отличным от 0° и 180°). Масштабные единицы на этих осях могут быть выбраны различные. Кроме них, для измерения длин на плоскости выбирается общая „абсолютная масштабная единица", которой, в частности, измеряются и длины масштабных единиц на осях. В качестве начала отсчета на обеих осях берется точка их пересечения О (начало координат: от латинского origo – начало; отсюда и «оригинал», т.е. первоисточник, начало). Одну из координатных осей называют осью абсцисс (осью х), другую -осью ординат (осью у), Пусть М— какая-нибудь точка на плоскости. Проведем через М прямые, параллельные координатным осям (рис. 1). Прямая, параллельная оси ординат, пересечет ocь абсцисс в некоторой точке М ; прямая, параллельная оси абсцисс, пересечет ось ординат в некоторой точке М . Пусть х — координата точки М на оси абсцисс и у - координата точки М на оси ординат, причем отрезки О М и О М измерены, каждый, масштабной единицей, принятой на соответствующей оси. Очевидно, положение точки М в плоскости вполне определяется положением точек М и М на координатных осях, т.е. числами х и у. Эти числа называются декартовыми координатами точки М, при этом х — абсциссой, a y — ординатой. Параллелограмм О М М М , ограниченный осями координат и параллельными им прямыми, проходящими через точку М, называется координатным параллелограммом точки М; его стороны (и в частности отрезки О М , О М ) называются координатными отрезками точки М.

Чтобы указать, что точка М имеет координаты х и у пишут: М(х,у); при этом абсциссу помещают на первом месте, ординату - на втором. Точку с абсциссой х и ординатой у записывают также символом (х, у). Чтобы построить точку (х, у), нужно на оси абсцисс взять точку с координатой х и провести через нее прямую, параллельную оси ординат, далее, на оси ординат взять точку с координатой у и провести через нее прямую, параллельную оси абсцисс; пересечение этих двух прямых и будет точкой (х,у). Таким образом, каждой точке плоскости соот­ветствует вполне определенная упорядоченная пара вещественных чисел (указано, какое из них первое, а какое — второе); и обратно, каждой упорядоченной паре вещественных чисел соответствует вполне определенная точка плоскости. Иными словами, между совокупностью всех точек плоскости и совокупностью всех упорядоченных пар вещественных чисел установлено взаимно однозначное соответствий. Начало координат О имеет координаты (0, 0). У всех точек, лежащих на оси абсцисс, ординаты равны нулю, у всех точек, лежащих на оси ординат, абсциссы равны нулю; первые имеют вид (х, 0), вторые — вид (0, у). Угол, заключенный между положительными полуосями х и у, называется первым координатным углом; угол, заключенный между положительной полуосью у и отрицательной полуосью х, — вторым координатным углом; угол, заключен­ный между отрицательной полуосью х и отрицательной полуосью у, —третьим координатным углам; наконец, угол, заключенный между отрицательной полуосью у и положительной полуосью x, — четвертым координатным углом.