- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
- •1). Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •2). Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
- •Общий интеграл его есть
- •3). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •4). Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Другими словами, уравнение (22) представляется в виде
- •Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •1). Дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.
- •2). Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М. 2004.
- •1). Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения лоду.
- •2). Лоду с постоянными коэффициентами.
- •Структура общего решения лнду.
- •1. Письменный д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.
- •2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004.
- •Учебные вопросы:
- •1). Структура общего решения лнду.
- •2. Лнду с постоянными коэффициентами.
- •3) Пусть правая часть неоднородного лду представляет сбой сумму числа функции, т.Е. .
- •3. Заключительная часть:
Структура общего решения лнду.
Рекомендуемая литература:
1. Письменный д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. 2004.
2. Демидович б.П. Краткий курс высшей математики. М.- 2004.
3. Баврин И.И. Высшая математика. М.- 2003.
Учебные вопросы:
1. Структура общего решения ЛНДУ.
2. ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
1). Структура общего решения лнду.
Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка
, .
Определение. Уравнение , левая часть которого совпадает с левой частью данного уравнения, называется соответствующим ему однородным уравнением.
Структура общего решения (ОР) ЛНДУ дается следующей теоремой.
Теорема. Общим решением ЛНДУ является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего ЛОДУ: .
Теорема означает, что для того, чтобы получить общее решение ЛНДУ надо решить соответствующее ЛОДУ, т.е. найти его ОР, затем, найти какое-нибудь частное решение ЛНДУ и их сложить.
Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка
, (1) (3.20)
.
Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения
. (2) (3.21)
Решение уравнения (1) (3.20) будем искать в виде
, (3) (3.22)
т.е. предполагая не постоянными, а переменными и дифференцируемыми на величинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметь условий. Продифференцируем - раз
,
каждый раз, что сумма в квадратных скобках равна нулю.
.
И т.д., найдем производную
Полагая выражение в квадратных скобках равным нулю, продифференцируем еще раз
.
Подберем так, чтобы функция (3) (3.22) являясь решением уравнения (1) (3.20). Подставляя функцию (3) (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (1) (3.20), получим
.
Так как - ФСР однородного ЛДУ, то получим последнее - ое условие относительно .
Таким образом, для нахождения неизвестных функций получили систему линейных алгебраических уравнений
(4) (3.23)
Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану , ибо - ФСР), имеем
, ,
где определители получаются из главного заменой элементов -го столбца свободными членами системы.
Пример. Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка .
Найдем вначале ФСР однородного уравнения .
Из характеристического уравнения получим
, т.е. , , поэтому , .
Подставив эти функции в (4) (3.23) получим
Отсюда
, , .
Следовательно , , , , . Окончательно получим общее решение исходного уравнения
.
2. Лнду с постоянными коэффициентами.
Метод вариации можно использовать для любых линейных дифференциальных уравнений с любой непрерывной правой частью. А метод неопределенных коэффициентов можно применять только для уравнений с постоянными коэффициентами и только с правой частью определенных видов. Преимущество этого метода в том, что можно находить частное решение неоднородного уравнения, не прибегая к операции интегрирования.
Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами
. (5) (3.24)
1) Пусть первая часть , где - многочлен степени .
а) Если (коэффициент в показателе экспоненты) не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в той же форме, т.е.
,
где - не определены. Для их нахождения нужно продифференцировать раз и подставить его в уравнение (5) (3.24). А дальше коэффициенты находятся аналогично способу неопределенных коэффициентов при интегрировании, т.е. приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях .
Пример: Найти частное решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение , корни его , . Значит, не является корнем характеристического уравнения.
Будем искать частное решение в виде .
Найдем первую и вторую производные
,
.
П одставим в уравнение:
.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получим
,
;
б) Пусть является корнем характеристического уравнения кратности . Тогда частное решение ищется в той же форме, но с сомножителем , т.е.
.
И далее аналогично пункту а).
Пример. .
Характеристическое уравнение имеет корни его , . Значит, является корнем характеристического уравнения кратности один. Поэтому частное решение надо искать в виде
.
Пример: .
Характеристическое уравнение имеет корни корень кратности два, т.е. . Поэтому решение ищем в виде
.
Продифференцируем его дважды:
,
и подставим в уравнение. Вынося и экспоненту, получим
,
Частным решением является функция
.
2) Пусть правая часть уравнения (5) (3.24) есть
.
а) Если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в виде
,
где - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.
Пример: .
Характеристическое уравнение можно представить виде , т.е. , значит не является корнем характеристического уравнения. Решение будем искать в виде .
,
,
.
Подставляя эти производные в уравнение, после сокращения получим
.
Следовательно, частным решением является функция .
б) Если является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение неоднородного ЛДУ (5)(3.26) ищется в виде
, .
Пример:
Характеристическое уравнение
имеет корни , следовательно, является корнем кратности . Поэтому решение следует искать в виде
.