25. Теорема о кинетической энергии

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее конечном перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Выражение теоремы о кинетической энергии системы в дифференциальной форме

26. Потенциальные поля

С илу  , действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа  , совершаемая этой силой при перемещении этой точки из произвольного положения 1 в другое 2, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло:

Изменение направления движения точки вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака консервативной силы, так как величина   меняет знак. Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории  , например  , работа консервативной силы равна нулю.

27. Потенциальные поля (работа по перемещению тела в потенциальном поле)

Работа, совершаемая при подъеме  тела  весом Р на высоту h будет равна А = Рh. При опускании  тела  на первоначальный уровень сила тяжести произведет такую же работу, какая была затрачена на подъем  тела . Значит, поднимая  тело, мы запасли  работу, равную Ph, т. е. поднятое  тело обладает  энергией, равной произведению веса  тела  на высоту поднятия .

Эта  энергия  не зависит от того, по какому пути происходил подъем, а определяется лишь положением  тела  (высотой, на которую оно поднято). Поэтому эту  энергию  называют  потенциальной   энергией .

Итак,  потенциальная   энергия  Еп  тела , поднятого на некоторую высоту, выражается формулой Eп = Ph. 

28. Потенциальные поля (оператор «набла», градиент функции, эквипотенциальная эквивалентность, силовая линия)

Градиент функции – это вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания функции.

В определении градиента существенны два положения:

1) направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения потенциала была максимальна;

2) направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает (не убывает).

В декартовой системе координат градиент скалярной функции равен

равен gradϕ=ϕ,

где  - оператор «набла».

С помощью оператора «набла» условие потенциальности силового поля можно записать: F = - ϕ.

В потенциальных полях можно ввести понятие эквипотенциальной поверхности, во всех точках которой потенциальная функция имеет одинаковые значения.

Сила направлена в сторону убывания потенциальной функции (Φ1> Φ2> Φ3> Φ4) и всегда перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям.

Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением силы в этой точке, называется силовой линией.

В потенциальном поле силовые линии и эквипотенциальные поверхности всегда взаимно перпендикулярны.

29. Поверхность с нулевым значением потенциальной функции

В потенциальном поле некоторая, любая потенциальная поверхность принимается за поверхность с нулевым значением потенциальной функции Φ0=0.

В этом случае работа по перемещению тела из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом, численно равна значению потенциальной функции в этой точке.

Численное значение потенциальной функции в любой точке поля (при заданном нулевом значении) называют потенциальной энергией тела, находящегося в этой точке:

Ui= Φi