- •8. Рациональные неравенства.
- •Общая схема решения.
- •9. Иррациональные уравнения.
- •Общая схема решения.
- •10. Иррациональные неравенства. Общая схема решения.
- •11. Показательные уравнения. Общая схема решения.
- •12. Показательные неравенства. Общая схема решения.
- •13. Логарифмические уравнения. Общая схема решения.
- •14. Логарифмические неравенства. Общая схема решения.
12. Показательные неравенства. Общая схема решения.
В исходном неравенстве устанавливается область допустимых значений параметров, область определения. На области определения исходное неравенство приводится к виду
(1).
На множестве исследуется совокупность соответствующих особых частных неравенств типа Ø или типа ∞.
На множестве неравенство(1) для вспомогательной переменной равносильно системе
(2).
В неравенстве для каждого типа частных неравенств с общим решением
на множестве уравнения определяют подмножества значений размещения значения , нулей и точек разрыва функции . Неравенства определяют подмножества значений перестановки . В каждом из выделенных подмножеств
и
множества определяются общие решения системы (2).
На выделенном в п. 4 подмножестве значений параметров с общим решением находятся нули и точки разрыва функций , определяются множества значений их перестановок. На каждом из множеств значений перестановок нулей и точек разрыва функций с учетом значений находится множество решений каждой из систем
, …, как пересечение множеств решений неравенств системы.
На каждом выделенном в п.5 множестве значений перестановок нулей и точек разрыва функций находится множество решений совокупности систем объединением множеств решений всех систем. Полученные множества решений совокупности систем являются решением исходного неравенства на выделенном множестве значений параметров. Множества значений параметров с едиными общими решениями исходного неравенства определяют типы частных неравенств.
13. Логарифмические уравнения. Общая схема решения.
В искомом уравнении определяется область допустимых значений параметров, область определения задаётся некоторой системой неравенств.
На области определения исходное уравнение приводится к виду . Для вспомогательной переменной это уравнение равносильно уравнению .
Осуществляется решение уравнения на множестве допустимых значений параметров исходного уравнения. Для каждого из общих решений уравнения определяется область значений параметров.
Для каждого из общих решений на множестве проводится решение уравнения .
Для общих решений этого уравнения в множестве устанавливается подмножество значений параметров, для которых является решением уравнения и содержится в области определения исходного уравнения.
Всевозможные пересечения множеств для всех общих решений определяют все типы частных уравнений.
14. Логарифмические неравенства. Общая схема решения.
Логарифмические неравенства с параметрами , , и переменной определены на множестве всех упорядоченных значений , для которых основания , логарифмических выражений положительны и отличны от единицы, выражения ,…, под знаком логарифмов положительны. Исходя из этого область определения логарифмического неравенства определяется из системы
. (1)
Определяется разбиение области определения на подмножества и .
На области допустимых значений параметров исходное неравенство методом равносильных преобразований приводится к одному из следующих видов
(2)
(3)
(4)
(5).
На области допустимых значений параметров определяются граничные значения параметров системы (1). Для найденных граничных значений в исходном логарифмическом неравенстве соответствующие частные неравенства решаются отдельно. Устанавливаются нули и точки разрыва каждой из функций системы (1).
На области допустимых значений параметров исходного неравенства определяются граничные значения параметров уравнений
.
Для найденных граничных значений в исходном логарифмическом неравенстве соответствующие частные неравенства решаются отдельно.
Устанавливаются нули и точки разрыва каждой из функций для соответствующих неравенств вида (2)-(5).
На каждом из множеств и отдельно выделяют подмножества значений размещений, перестановок совокупности нулей и точек разрыва функций системы (1) неравенств (2)-(5).
На множестве значений определённого размещения или перестановки методом интервалов устанавливается общее решение системы (1) и соответствующего неравенства или общее решение системы (1) и одной из систем совокупностей
.
Выделенные промежутки являются общим решением некоторого неравенства на данном множестве значений параметров.
6. Множества значений параметров с одинаковыми общими решениями определяют типы частных неравенств с соответствующими характеристиками.